Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- temata:16-mnoziny-relace-zobrazeni:main [2011/03/16 21:26]
george [16 - Množiny, relace a zobrazení]
+++ temata:16-mnoziny-relace-zobrazeni:main [2012/05/14 11:06] (aktuální)
conyx [Binární relace]
@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
+~~ODT~~
 ====== 16 - Množiny, relace a zobrazení ======
+===== Množina =====
+<box round blue 90%|**Definice**>
 Soubor objektů, chápaný jako celek. Objekty se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina.
@@ Řádek 5: / Řádek 11: @@
 Prázdná množina ... <m>varnothing</m>
-=== Operace s množinami ===
+</box>
+==== Operace s množinami ====
+<box round red 90%>
 X <m>union</m> Y = { x | x <m>in</m> X <m>vert</m> x <m>in</m> Y}
@@ Řádek 26: / Řádek 36: @@
   * <m>overline{A inter B}</m> = <m>overline{A}</m> <m>union</m> <m>overline{B}</m>
-=== Binární relace ===
+</box>
-(a, b) ... uspořádaná relace
+===== Relace =====
+==== Binární relace ====
+<box round blue 90%|**Definice**>
+(a, b) ... uspořádaná relace, **uspořádaná dvojice**
 (a ,b) = {{a}, {a,b}}
-**definice:** jsou-li X,Y množiny, pak kertézským součinem množin X,Y rozumíme množin
+</box>
+<box round blue 90%|**Definice**>
+Jsou-li X,Y množiny, pak **kartézským součinem** množin X,Y rozumíme množin
 X x Y = {(x,y) | x <m>in</m> X, y <m>in</m> Y}
+</box>
+<box round blue 90%|**Definice**>
-**definice:** binární relací z X do Y pak rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu, tj.
+**Binární relací** z X do Y pak rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu, tj.
 (a, b) <m>subset</m> X x Y
-**definice:** buď R <m>subset</m> X x Y, potom
+</box>
-Dom R = {x | <m>exists</m> y <m>in</m> Y: (x,y) <m>in</m> R} ... definiční obor
-Im R = {y | <m>exists</m> x <m>in</m> X: (x,y) <m>in</m> R} ... obor hodnot
-**definice:**
+<box round blue 90%|**Definice**>
-buď f <m>subset</m> X x Y relace z X do Y: <m>forall</m>x <m>x</m> Dom f <m>subset</m> X <m>exists</m>! y <m>in</m>Y: (x, y) <m>in</m> f
-(x, y) <m>in</m> f, y = f(x), f: X <m>right</m> Y
+Buď R <m>subset</m> X x Y, potom
-zobrazeni nazýváme:
+Dom R = {x | <m>exists</m> y <m>in</m> Y: (x,y) <m>in</m> R} ... **definiční obor**
-  * prosté neboli injektivní: <m>forall</m> <m>x_1</m>, <m>x_2</m> <m>in</m> X: f(<m>x_1</m>) = f(<m>x_2</m>) <m>doubleright</m> <m>x_1</m> = <m>x_2</m> (každý prvek v Y má nejvýše jeden vzor)
-  * surjektní neboli na: <m>forall</m>y <m>in</m> Y <m>exists</m>x <m>in</m>X: f(x) = y (každý prvek v Y má nějaký vzor)
+Im R = {y | <m>exists</m> x <m>in</m> X: (x,y) <m>in</m> R} ... **obor hodnot**
-  * bijektní neboli vzájemně jednoznačné (surjektivní a injektivní)
+</box>
-**definice:** Nechť R <m>subset</m> X x Y, potom inverzní relaci značíme <m>R^{-1}</m> a platí <m>R^{-1}</m> <m>in</m> Y x X. Je li inverzní relace zobrazíme, potom mluvíme o inverzním zobrazení
+<box round blue 90%|**Definice**>
+Buď f <m>subset</m> X x Y relace z X do Y: <m>forall</m>x <m>x</m> Dom f <m>subset</m> X <m>exists</m> y <m>in</m>Y: (x, y) <m>in</m> f
+(x, y) <m>in</m> f, y = f(x), f: X <m>right</m> Y\\
+Jednoznačnost zobrazení je důležitá a znamená, že každý prvek vzoru se zobrazí na právě jeden prvek v obrazu.\\
+**zobrazeni** nazýváme:
+  * **prosté** neboli injektivní: <m>forall</m> <m>x_1</m>, <m>x_2</m> <m>in</m> X: f(<m>x_1</m>) = f(<m>x_2</m>) <m>doubleright</m> <m>x_1</m> = <m>x_2</m> (každý prvek v Y má nejvýše jeden vzor)
+  * **surjektní** neboli na: <m>forall</m>y <m>in</m> Y <m>exists</m>x <m>in</m>X: f(x) = y (každý prvek v Y má nějaký vzor)
+  * **bijektní** neboli vzájemně jednoznačné (surjektivní a injektivní)\\
+se zobrazenim souvisy vyrazy "vzor" a "obraz"\\
+množina všech vzorů je definičním oborem, množina všech obrazů je oborem hodnot
+</box>
+<box round blue 90%|**Definice**>
+Nechť R <m>subset</m> X x Y, potom **inverzní relaci** značíme <m>R^{-1}</m> a platí <m>R^{-1}</m> <m>in</m> Y x X. Je li inverzní relace zobrazením, potom mluvíme o inverzním zobrazení
+</box>
+<box round blue 90%|**Definice**>
+Nechť máme relace S,R, potom S<m>circ</m>R navýváme **složenou relací**, čteme S po R, analogicky pro fce
+</box>
+==== Relace na množině ====
+<box round blue 90%|**Definice**>
-**definice:** Nechť máme relace S,R, potom S<m>circ</m>R navýváme složenou relací, čteme S po R, analogicky pro fce
+Nechť R <m>subset</m> X x X,
-=== Relace na množině ===
+  * a) **reflexivní**, jestli (x,x) <m>in</m> R pro <m>forall</m> x <m>in</m> X,
-´
+  * b) **symetrická**, jestli (x,y) <m>in</m> R <m>doubleright</m> (y,x) <m>in</m> R,
-**definice:** Nechť R <m>subset</m> X x X,
+  * c) **antisymetrická**, jestli [(x,y) <m>in</m> R <m>wedge</m> (y,x) <m>in</m> R] <m>doubleright</m> x = y,
-  * a) reflexivní, jestli (x,x) <m>in</m> R pro <m>forall</m> x <m>in</m> X,
+  * d) **tranzitivní**, jestli [xRy <m>wedge</m> yRz] <m>doubleright</m> xRz
-  * b) symetrická, jestli (x,y) <m>in</m> R <m>doubleright</m> (y,x) <m>in</m> R,
-  * c) antisymetrická, jestli [(x,y) <m>in</m> R <m>wedge</m> (y,x) <m>in</m> R] <m>doubleright</m> x = y,
-  * d) tranzitivní, jestli [xRy <m>wedge</m> yRz] <m>doubleright</m> xRz
-ekvivalence ... platí a,b,d
+**ekvivalence** ... platí a,b,d
-částečné uspořádání ... a,c,d
+**částečné uspořádání** ... a,c,d
-tolerance ... a,b
+**tolerance** ... a,b
-kvaziuspořádání ... a,d
+**kvaziuspořádání** ... a,d
-**definice:** Nechť X množina a S soubor podmnožin množiny X. Jestli je <m>union</m>S = X a množiny z S po dvou disjuktní, zavýváme S rozkladem na množině X.
+</box>
+<box round blue 90%|**Definice**>
+Nechť X množina a S soubor podmnožin množiny X. Jestli je <m>union</m>S = X a množiny z S po dvou disjuktní, zavýváme S rozkladem na množině X.
 Nechť R relace definovaná na X a platí že S je rozklad, potom je R ekvivalence
-**definice:** [a] = {x | x <m>in</m> X, xRa}, potom S = {[a] | a <m>in</m> X} je rozklad na X
+</box>
+<box round blue 90%|**Definice**>
+[a] = {x | x <m>in</m> X, xRa}, potom S = {[a] | a <m>in</m> X} je rozklad na X
+</box>
+<box round green 90%|**Ukazka**>
+Mějme množinu celých čísel Z, sestrojme zbytkové třídy po dělení 4 (modulo 4).
+Dělením čísla <m>a \in Z</m> dostaneme tyto zbytky:
+<m>\lbrace 0, 1, 2, 3 \rbrace</m>
+Čísla 1, 5, 9, 14, ..., 5 + k.4 dávají zbytek po dělení 4 číslo 1, dostáváme tedy třídu <m>[1] = \lbrace..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\rbrace</m>
+Analogicky pro 2, 6, 10, ... dostaneme <m>[2] = \lbrace..., -6, -2, 2, 6, 10, ...\rbrace</m>
+Celkově dostaneme třídu zbytků [0], [1], [2], [3].
+Pro operace se zbytky potom plati nasledujici:
+[0] + [2] = [1]
+[2] + [1] = [3]
+[3] + [3] = [2]
+[0] * [2] = [0]
+[2] * [3] = [2]
+pokud odstraníme závorky, dostaneme zajímavé výsledky, pokud se neuvědomíme, že se jedná o operace se zbytkovými třídami:
++ 1 = 1
++ 1 = 3
++ 3 = 2
+* 2 = 0
+* 3 = 2
+</box>
 <note tip>
@@ Řádek 101: / Řádek 201: @@
 </note>
-{{tag>vagabund george IDA mnozina relace zobrazeni}}
+{{tag>vagabund IDA mnozina relace zobrazeni}}
 ===== Potvrzení =====

temata/16-mnoziny-relace-zobrazeni/main.1300307197.txt.gz · Poslední úprava: 2011/03/16 21:26 autor: george

Zobrazit stránku Starší verze

Zpětné odkazy Nahoru