OBSAH WEBU
ČTĚTE!
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
|
temata:17-difintpocetfcevicepromennych [2011/02/15 13:38] vagabund |
temata:17-difintpocetfcevicepromennych [2011/02/15 15:27] (aktuální) vagabund |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 7: | Řádek 7: | ||
| </box> | </box> | ||
| - | K funkci lze přířadit graf: <m>G(f) = {[X, y]: X \in D_f \subset R^n, y = f(X)}</m> | + | K funkci lze přířadit graf: <m>G(f) = \lbrace[X, y]: X \in D_f \subset R^n, y = f(X)\rbrace</m> |
| Př. Máme fci <m>z = x^2 + y^2</m>, určete graf. | Př. Máme fci <m>z = x^2 + y^2</m>, určete graf. | ||
| Řádek 34: | Řádek 34: | ||
| </box> | </box> | ||
| - | <note important>Jiné definice vzdálenosti, např. Manhattan</note> | + | <note>Jiné definice vzdálenosti, např. Manhattan</note> |
| - | Pozn. | + | <box round 90% blue|**Definice**> |
| + | Buď <m>A \subset R^n</m>. Množina | ||
| + | <m>U_{\delta}(A) = \lbrace X \subset R^n : d(A,X) < \delta\rbrace</m> | ||
| + | se nazývá okolí bodu <m>A</m>, množina | ||
| + | |||
| + | <m>U_{\delta}^*(A) = U_{\delta}(A) - \lbrace A\rbrace</m> | ||
| + | |||
| + | se nazývá redukované okolí bodu A. Číslo <m>\delta</m> se nazývá poloměr okolí. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Řekneme, že funkce <m>f: M \right R, M \subset R^n</m> má v bodě A limitu b, když | ||
| + | * A je hromadným bodem množiny M, | ||
| + | * k libovolnému okolí U(b) limity b existuje okolí U(A) bodu A tak, že funkce f zobrazí redukované okolí <m>U^*(A)</m> do <m>U(b)</m>, tedy <m>\forall U(b) \exists U(A): f(U^*(A)) \right U(b)</m>. | ||
| + | Potom píšeme <m>\lim{X \right A}{f(X) = b}</m>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Řekneme, že funkce <m>f: M \right R, M \subset R^n</m> je v bodě A spojitá, jestliže | ||
| + | |||
| + | <m>\lim{X \right A}{f(X) = f(A)}</m>. | ||
| + | |||
| + | Řekneme, že funkce <m>f: M \right R, M \subset R^n</m> je spojitá na množině M, je-li spojitá v každém bode této množiny. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta**> | ||
| + | Součet, rozdíl, součin, podíl dvou limita je rovna limitě součtu, rozdílu, součinu, podílu | ||
| + | </box> | ||
| + | <box round 90% red|**Věta**> | ||
| + | Nechť fce g má limitu v bodě X, fce f v bodě <m>g(X)</m>, potom i složená fce <m>f(g(X))</m> má limitu v bodě X | ||
| + | </box> | ||
| + | <box round 90% red|**Věta**> | ||
| + | Nechť máme fce a,b,c, pro každé <m>X \subset R^n</m> platí <m>a(X) <= b(X) <= c(X)</m> a <m>lim{}{a(X)} = lim{}{c(X)} = \lambda</m>, potom i fce b má limitu a to rovno <m>\lambda</m> | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | ==== Derivace ==== | ||
| + | |||
| + | Parciální derivace | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Nechť je funkce f(x, y) definována v jistém okolí bodu <m>X_0 = (x_0, y_0) \in R^2</m> . Zvolme <m>y = y_0</m> a uvažujme funkci <m>f_1(x) = f(x, y_0)</m> jedné proměnné x, která je definovaná v jistém okolí bodu <m>x_0 \in R</m> . Existuje-li vlastní derivace <m>f_1^\prime (x_0)</m> funkce <m>f_1</m> v bode <m>x_0</m> , tedy existuje-li konečná limita | ||
| + | |||
| + | <m>\lim{h \right 0}{(f_1(x_0 + h) − f(x_0))/h} = \lim{h \right 0}{(f(x_0 + h, y_0) − f(x_0, y_0))/h} = \lim{h \right 0}{(f(X_0 + h\vec{i}) − f(X_0))/h}</m> | ||
| + | |||
| + | nazýváme ji parciální derivací prvního řádu funkce f v bode <m>X_0</m> podle proměnné x. | ||
| + | Obvyklá oznacení: <m>f^\prime_x (X_0)</m>, <m>{\partial{f}}/{\partial{x}} (X_0)</m>. | ||
| + | |||
| + | analogicky podle zbylích proměnných | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Fce je hladká, jestliže má v každém bodě všechny parciální derivace | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Existuje-li konecná limita | ||
| + | |||
| + | <m>\lim{h \right 0}{(f(X_0 + h \vec{u}) − f(X_0))/h} = f^\prime_u (X_0)</m>, | ||
| + | |||
| + | nazýváme ji derivací funkce f v bode <m>X_0</m> podle vektoru u. Je-li vektor u jednotkový, hovoříme o směrové derivaci. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Vektor | ||
| + | |||
| + | <m>\vec{grad f}(X_0) = (f^\prime_{x_1}(X_0), ..., f^\prime_{x_n}(X_0))</m> | ||
| + | |||
| + | se nazývá gradient funkce f v bode <m>X_0</m>. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Nechť funkce f je hladká na oblasti A, bod <m>X_0 \in A</m> a h je vektor. Potom zobrazení | ||
| + | |||
| + | <m>df(X_0, \vec{h}) = \vec{grad f}(X_0) · \vec{h} = f^\prime_h(X_0)</m> | ||
| + | |||
| + | nazýváme diferenciálem funkce f v bode X0. Místo <m>df(X_0, \vec{h})</m> nekdy píšeme jen <m>df(X_0)</m>. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | Derivace a diferenciály vyšších rádu, Taylorova veta | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Nechť funkce <m>f: A \right R, A \subset R^n</m> má v nejakém okolí bodu <m>X_0 \in A</m> parciální derivaci podle i-té promenné <m>f^\prime_{x_i}</m>. Existuje-li derivace funkce <m>f^\prime_{x_i}</m> podle j-té promenné v bode <m>X_0</m> , nazýváme ji parciální derivací druhého rádu funkce f v bode <m>X_0</m> podle i-té a j-té promenné (v tomto poradí) a znacíme ji <m>f^{\prime\prime}_{x_i x_j}</m> nebo <m>{\partial f}/{\partial x_i \partial x_j}(X_0)</m>; je-li <m>i = j</m>, píšeme <m>{\partial^2 f}/{\partial{x^2_i}}(X0)</m>. | ||
| + | Je-li <m>i \ne j</m>, nazýváme parciální derivace <m>f^{\prime\prime}_{x_i x_j}</m> resp. <m>f^{\prime\prime}_{x_j x_i}</m> smíšenými parciálními derivacemi druhého rádu. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | Diferenciál k-tého rádu | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Je-li <m>f: A \right R</m> trídy <m>C^m<m>, pak pro libovolné <m>X_0 \in A</m> a <m>k \leq m</m> funkci, která každému vektoru <m>\vec{h} = (h_1, ..., h_n)</m> priradí k-tou derivaci funkce f podle vektoru h, tedy funkci | ||
| + | |||
| + | <m>d^k f(X_0, \vec{h}) = f^{(k)}_{h^k}(X_0) = {(h_1 \partial/{\partial x_1} + \cdots + h_n \partial/{\partial x_n})}^k (f(X_0))</m> | ||
| + | |||
| + | nazýváme diferenciálem k-tého rádu funkce f v bode <m>X_0</m>. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Má-li funkce f spojité parciální derivace až do rádu k na okolí <m>U(X_0)</m> bodu <m>X_0</m>, potom Taylorovým polynomem funkce f v bode <m>X_0</m> nazýváme polynom | ||
| + | |||
| + | <m>T_k(X) = f(X_0) + 1/{1!}df(X_0,X − X_0) + 1/{2!}d^2f(X_0,X − X_0) + \cdots + 1/{k!}d^kf(X_0,X − X_0)</m>. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | ==== Extrémy funkcí více promenných ==== | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Řekneme, že funkce <m>f: A \right R, A \subset R^n</m> má v bode <m>X_0 \in A</m> lokální maximum (resp. minimum), jestliže existuje okolí <m>U(X_0)</m> tak, že platí | ||
| + | |||
| + | <m>\forall X \in U^*(X_0): f(X) \le f(X_0) (resp. f(X) \ge f(X_0))</m>. | ||
| + | |||
| + | V prípade, že platí ostré nerovnosti, ríkáme, že lokální maximum resp. minimum je ostré. Lokální maximum a minimum se nazývá spolecným pojmem lokální extrém. | ||
| + | </box> | ||
| + | <box round 90% red|**Věta (Fermatova), Nutná podmínka pro extrém**> | ||
| + | Necht <m>f: A \right R</m> je hladká na nejakém okolí <m>U(X_0)</m> bodu <m>X_0</m> a necht má funkce f v bode <m>X_0</m> lokální extrém. Pak platí: | ||
| + | |||
| + | <m>\vec{grad f}(X_0) = f^\prime(X_0) = 0</m>. | ||
| + | |||
| + | Platí-li v bode <m>X_0</m> vztah <m>\vec{grad f}(X_0) = 0</m>, ríkáme, že <m>X_0</m> je stacionární bod funkce f. Stacionární bod, ve kterém extrém nenastane, se nazývá sedlový bod. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta, Postacující podmínka pro extrém**> | ||
| + | Necht <m>X_0</m> je stacionárním bodem funkce <m>f: A \right R</m>. Pak platí-li pro každý nenulový prírustkový vektor <m>\vec{h}</m> | ||
| + | |||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) > 0</m>, je v bode <m>X_0</m> lokální minimum, | ||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) < 0</m>, je v bode <m>X_0</m> lokální maximum, | ||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) \ge 0</m>, extrém v bode <m>X_0</m> muže a nemusí nastat, | ||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) \le 0</m>, extrém v bode <m>X_0</m> muže a nemusí nastat. | ||
| + | * | ||
| + | Jestliže pro nekteré <m>\vec{h}<\m> je <m>d^2f(X_0, h) > 0</m> a pro jiné <m>\vec{h}<\m> je <m>d^2f(X_0, h) < 0</m>, extrém nenastane | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | <note> | ||
| + | <m>D_1 = | \matrix{1}{1}{ f^{\prime\prime}_{x_1 x_1} } |</m> | ||
| + | <m>D_2 = | \matrix{2}{2}{ f^{\prime\prime}_{x_1 x_1} f^{\prime\prime}_{x_1 x_2} f^{\prime\prime}_{x_2 x_1} f^{\prime\prime}_{x_2 x_2} } |</m> | ||
| + | </note> | ||
| + | <box round 90% blue|**Věta (Sylvestrovo kriterium)**> | ||
| + | Necht A je stacionární bod funkce f n promenných. | ||
| + | * Jsou-li v bode A subdeterminanty <m>D_1,D_2</m>, ...,Dn matice <m>f^{\prime\prime}</m> všechny kladné, má funkce f v bode A lokální minimum. | ||
| + | * Jsou-li v bode A subdeterminanty <m>D_1,D_3</m>, ... záporné a subdeterminanty <m>D_2,D_4</m>, ... kladné (tedy jsou strídave záporné a kladné s <m>D_1</m> záporným), má funkce f v bode A lokální maximum. | ||
| + | * Je-li nekterý subdeterminant se sudým indexem v bode A záporný, potom v bode A extrém nenastane. | ||
| + | * Je-li nekterý subdeterminant s lichým indexem kladný a jiný záporný, extrém nenastane. | ||
| + | |||
| + | Je-li nekterý subdeterminant v bode A roven nule a predchozí dve podmínky extrém nevyloucily, nelze pomocí tohoto kriteria o existenci extrému rozhodnout. | ||
| + | </box> | ||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | </box> | ||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | </box> | ||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | </box> | ||
