OBSAH WEBU
ČTĚTE!
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
|
temata:17-difintpocetfcevicepromennych [2011/02/15 15:12] vagabund |
temata:17-difintpocetfcevicepromennych [2011/02/15 15:27] (aktuální) vagabund |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 147: | Řádek 147: | ||
| V prípade, že platí ostré nerovnosti, ríkáme, že lokální maximum resp. minimum je ostré. Lokální maximum a minimum se nazývá spolecným pojmem lokální extrém. | V prípade, že platí ostré nerovnosti, ríkáme, že lokální maximum resp. minimum je ostré. Lokální maximum a minimum se nazývá spolecným pojmem lokální extrém. | ||
| </box> | </box> | ||
| - | <box round 90% blue|**Definice**> | + | <box round 90% red|**Věta (Fermatova), Nutná podmínka pro extrém**> |
| + | Necht <m>f: A \right R</m> je hladká na nejakém okolí <m>U(X_0)</m> bodu <m>X_0</m> a necht má funkce f v bode <m>X_0</m> lokální extrém. Pak platí: | ||
| + | |||
| + | <m>\vec{grad f}(X_0) = f^\prime(X_0) = 0</m>. | ||
| + | |||
| + | Platí-li v bode <m>X_0</m> vztah <m>\vec{grad f}(X_0) = 0</m>, ríkáme, že <m>X_0</m> je stacionární bod funkce f. Stacionární bod, ve kterém extrém nenastane, se nazývá sedlový bod. | ||
| </box> | </box> | ||
| - | <box round 90% blue|**Definice**> | + | |
| + | <box round 90% red|**Věta, Postacující podmínka pro extrém**> | ||
| + | Necht <m>X_0</m> je stacionárním bodem funkce <m>f: A \right R</m>. Pak platí-li pro každý nenulový prírustkový vektor <m>\vec{h}</m> | ||
| + | |||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) > 0</m>, je v bode <m>X_0</m> lokální minimum, | ||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) < 0</m>, je v bode <m>X_0</m> lokální maximum, | ||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) \ge 0</m>, extrém v bode <m>X_0</m> muže a nemusí nastat, | ||
| + | * <m>d^2f(X_0, h) \le 0</m>, extrém v bode <m>X_0</m> muže a nemusí nastat. | ||
| + | * | ||
| + | Jestliže pro nekteré <m>\vec{h}<\m> je <m>d^2f(X_0, h) > 0</m> a pro jiné <m>\vec{h}<\m> je <m>d^2f(X_0, h) < 0</m>, extrém nenastane | ||
| </box> | </box> | ||
| - | <box round 90% blue|**Definice**> | + | <note> |
| + | <m>D_1 = | \matrix{1}{1}{ f^{\prime\prime}_{x_1 x_1} } |</m> | ||
| + | <m>D_2 = | \matrix{2}{2}{ f^{\prime\prime}_{x_1 x_1} f^{\prime\prime}_{x_1 x_2} f^{\prime\prime}_{x_2 x_1} f^{\prime\prime}_{x_2 x_2} } |</m> | ||
| + | </note> | ||
| + | <box round 90% blue|**Věta (Sylvestrovo kriterium)**> | ||
| + | Necht A je stacionární bod funkce f n promenných. | ||
| + | * Jsou-li v bode A subdeterminanty <m>D_1,D_2</m>, ...,Dn matice <m>f^{\prime\prime}</m> všechny kladné, má funkce f v bode A lokální minimum. | ||
| + | * Jsou-li v bode A subdeterminanty <m>D_1,D_3</m>, ... záporné a subdeterminanty <m>D_2,D_4</m>, ... kladné (tedy jsou strídave záporné a kladné s <m>D_1</m> záporným), má funkce f v bode A lokální maximum. | ||
| + | * Je-li nekterý subdeterminant se sudým indexem v bode A záporný, potom v bode A extrém nenastane. | ||
| + | * Je-li nekterý subdeterminant s lichým indexem kladný a jiný záporný, extrém nenastane. | ||
| + | |||
| + | Je-li nekterý subdeterminant v bode A roven nule a predchozí dve podmínky extrém nevyloucily, nelze pomocí tohoto kriteria o existenci extrému rozhodnout. | ||
| </box> | </box> | ||
| <box round 90% blue|**Definice**> | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
