Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- temata:17a-matematicka_analyza:derivace_jedne_promenne:main [2011/02/22 18:58]
vagabund
+++ temata:17a-matematicka_analyza:derivace_jedne_promenne:main [2011/03/15 13:55] (aktuální)
vagabund
@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
+~~ODT~~
 ===== Derivace funkce jedné proměnné =====
+==== Úvod ====
+=== Derivace ===
 <box round 90% green|**Motivace**>
@@ Řádek 35: / Řádek 41: @@
 Má-li funkce v bodě <m>x_0</m> derivace, potom je v tomto bodě spojitá
 </box>
+=== Základní vzorce pro derivace ===
 <box round 90% |**Vzorečky**>
-<m>(kf)\prime = kf\prime</m>
+<m>(kf)^\prime = kf^\prime</m>
-<m>(f + g)\prime = f\prime + g\prime</m>
+<m>(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime</m>
-<m>(f - g)\prime = f\prime - g\prime</m>
+<m>(f - g)^\prime = f^\prime - g^\prime</m>
-<m>(fg)\prime = f\prime g + f g\prime</m>
+<m>(fg)^\prime = f^\prime g + f g^\prime</m>
-<m>(f/g)\prime = {f\prime g - f g\prime}{g^2}</m>
+<m>(f/g)^\prime = {f^\prime g - f g^\prime}/{g^2}</m>
+Derivace složené funkce:
+<m>(f(g(x)))^\prime = f(g)^\prime g(x)^\prime</m>
+Derivace inverzní funkce:
+<m>{f^(-1)}^\prime = 1/{f^\prime}</m>
 </box>
+<box round 90% |**Vzorečky**>
+Derivace elementárních fcí:
+http://ftp.mgo.opava.cz/kav/download/matematika/seminar/derivace/der_el_fci.pdf
+</box>
+=== Jednostranné derivace ===
+<box round 90% blue|**Definice**>
+Předpokládejme, že funkce f je definovaná na nějakém levém, resp. pravém okolí bodu <m>x_0</m>. Jestliže existuje vlastní limita
+<m>lim{\Delta x \right 0^{-}}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}</m>, resp. <m>lim{\Delta x \right 0^{+}}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}</m>
+potom limitu(číslo) nazýváme derivace zleva, resp. zprava (souhrně jednostranné derivace) a značíme <m>f\prime_-(x_0)</m>, resp. <m>f\prime_+(x_0)</m>
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Funkce má v bodě <m>x_0</m> derivaci právě když existují obě jednostrané derivace v bodě <m>x_0</m> a jsou si rovny
+</box>
+=== Dodatek ===
+<box round 90% blue|**Definice**>
+Nechť <m>n \in N</m>. Potom n-tou derivace funkce v rozumíme:
+<m>f^{(n)} = f^{(n - 1)}</m>
+<m>f^{(0)} = f</m>
+Platí: <m>Df \subset  Df^\prime \subset  Df^{\prime\prime} \subset  ...</m>
+</box>
+<box round 90% blue|**Definice**>
+Fce f je třídy <m>C^0</m>, jestliže je f spojitá.
+Fce f je třídy <m>C^1</m>, jestliže je derivace f spojitá.
+Fce f je třídy <m>C^k</m>, jestliže je derivace <m>f^(k)</m> spojitá a <m>f^{(k-1)}</m> třídy <m>C^{k-1}</m>.
+</box>
+=== příklady ===
+<box round 90% green|**příklady**>
+) <m>f(x) = {sin}^2({cos}^3(tg x))</m>
+) <m>f(x) = x^{lnx}</m>
+) <m>f(x) = {(x/{x + 1})}^x</m>
+\\
+\\
+\\
+) derivace složené fce
+<m>{{sin}^2({cos}^3(tg x))}\prime = 2sin({cos}^3(tg x)) . cos({cos}^3(tg x)) . 3{cos}^2(tg x) . (-sin(tg x)) . 1/{cos^2(x)}</m>
+\\
+\\
+\\
+) derivaci je potreba prevest na zname vzorce
+<m>y = x^{lnx}</m>
+<m>lny = lnx^{lnx}</m>
+<m>lny = lnx lnx</m>
+<m>lny = {ln}^2x</m>
+<m>e^{{ln}^2x} = y</m>
+<m>y = e^{{ln}^2x}</m>
+**derivujeme az teď**
+<m>y\prime = e^{{ln}^2x} . 2lnx . 1/x = x^{lnx} . 2lnx . 1/x = x^{lnx - 1} . 2lnx</m>
+\\
+\\
+\\
+) derivaci je potreba prevest na zname vzorce
+<m>y = {(x/{x + 1})}^x</m>
+<m>lny = ln{(x/{x + 1})}^x</m>
+<m>lny = x . ln{(x/{x + 1})}</m>
+<m>e^{x . ln{(x/{x + 1})}} = y</m>
+<m>y = e^{x . ln{(x/{x + 1})}}</m>
+**derivujeme az teď**
+<m>y\prime = e^{x . ln{(x/{x + 1})}} . [ ln{(x/{x + 1})} + x({x + 1}/x . [ {1.x + (x + 1)}/x^2 ] )  ]</m>
+</box>
+==== Pokračování ====
+=== monotónnost, extrémy ===
+<box round 90% blue|**Definice**>
+Řekněme, že funkce f je definovaná ne nějakém okolí bodu <m>c \in R</m>, má v bodě c lokální maximum, resp. minimum, jestliže <m>\exists \delta > 0</m> tak, že pro <m>\forall c \in O(c, \delta)</m> je <m>f(x) \le f(x)</m>, resp. <m>f(x) \ge f(x)</m>. Oba definované pojmy souhlasně nazýváme lokální extrémy.
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Jestliže má fce v bodě c lokálné extrém a je diferencovatelné, potom platí <m>f^\prime(c) = 0</m>
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Jestliže je fce konstantní a je diferencovatelné, potom platí <m>f^\prime(x) = 0</m>
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Jestliže je fce diferencovatelná a rostoucí, resp. klesající, potom je <m>f^\prime(x) > 0</m>, resp. <m>f^\prime(x) < 0</m>
+</box>
+=== l'Hopitalovo pravidlo ===
+<box round 90% red|**Věta**>
+Předpokládejme, že fce f,g jsou definované na nějakém neúplném okolí, popř. na příslušných neúplných jednostranných okolí a platí, že
+<m>lim{}{f(x)} = lim{}{g(x)} = 0,\infty</m>
+a existuje
+<m>lim{}{{f^\prime(x)}/{g^\prime(x)}} = \lambda \in R^*</m>
+potom existuje také limita <m>lim{}{{f(x)}/{g}}</m> a rovná se <m>\lambda</m>
+tvary <m>0.\infty, \infty - \infty, 0^0, \infty^0, 1^\infty, 1^{-\infty}</m> se dají převést na tvar <m>0/0</m> nebo <m>\infty/{\infty}</m>
+</box>
+<box round 90% red|**dodatek**>
+tvar <m>0.\infty (f.g)</m> převádíme na tvar <m>f/{1/g}</m> nebo <m>g/{1/f}</m> a tím na tvar <m>0/0</m> nebo <m>\infty/{\infty}</m>
+tvar <m>\infty-\infty (f-g)</m> převádíme na tvar <m>f - g = {(1/g) - (1/f)}/{(1/g)(1/f)}</m>
+<m>\lim{x \right 3}(6/{x^2 - 9} - 1/{x-3}) = \lim{x \right 3}({6 - (x + 3)}/{x^2 - 9}} = \lim{x \right 3}({3 - x}/{x^2 - 9}} = \lim{x \right 3}{{-1}/{2x}} = -1/6</m>
+tvar <m>0^0, {\infty}^0 (f^g)</m> převádíme na tvar <m>e^{g ln f}</m>, <m>\lim{}{e^{g(x) ln f(x)}} = e^{(\lim{}{{g(x) ln f(x)}})}</m>
+</box>
+<box round 90% green|**příklady**>
+<m>\lim{x \right 0}{{sinx}/x}</m>
+dosazením 0 za x dostaneme tvar <m>0/0</m>
+zderivujeme
+<m>\lim{x \right 0}{{sinx\prime}/{x\prime}} = \lim{x \right 0}{{cosx}/1}</m>
+dosadíme znovu 0 za x, dostaneme 1
+</box>
+=== Taylorova věta ===
+<box round 90% green|**Motivace**>
+Máme fci sin(x). Naším cílem je tuto fci nahradit polynom, který ji bude s dostatečnou přesností aproximovat. Jak na to půjdeme?
+předpokládáme, že: <m>sin(x) = f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + ...</m>, kde <m>a_i</m> jsou koeficienty polynomu, <m>x_0</m> je předem zvolená konstanta (hodnota), kolem které budeme aproximovat (volí se tak, aby daný polynom konvergoval co nejrychleji)
+Jak získáme koeficienty?
+<m>f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + ...</m>
+<m>f(x)\prime = 1.a_1 + 2.a_2(x - x_0) + 3.a_3(x - x_0)^2 + 4.a_4(x - x_0)^3 + ...</m>
+<m>f(x)\prime\prime = 2.1.a_2 + 3.2.a_3(x - x_0) + 4.3.a_4(x - x_0)^2 + 5.4.a_5(x - x_0)^3 + ...</m>
+<m>f(x)\prime\prime\prime = 3.2.1.a_3(x - x_0) + 4.3.2.a_4(x - x_0) + 5.4.3.a_5(x - x_0)^2 + ...</m>
+...
+dosadíme <m>x_0</m> za x:
+<m>f(x_0) = a_0</m>
+<m>f(x_0)\prime = 1.a_1</m>
+<m>f(x_0)\prime\prime = 2.1.a_2</m>
+<m>f(x_0)\prime\prime\prime = 3.2.1.a_3</m>
+...
+<m>f(x_0)^{(n)} = n!.a_3</m>
+takže
+<m>a_3 = f(x_0)^{(n)}/{n!}</m>
+dosadíme do polynomu:
+<m>f(x) = f(x_0) + f(x_0)/{1!}(x - x_0) + f(x_0)/{2!}(x - x_0)^2 + f(x_0)/{3!}(x - x_0)^3 + ... = \sum{n = 0}{\infty}{{f^{(n)}}/{n!}(x - x_0)^n}</m>
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Necht f je definovana na intervalu <a;b> a <m>n \in N</m>. Nechť f je dále třídy <m>C^k</m> a v každém bodě tohoto intervalu má fce (n+1)-ní derivaci. Nechť <m>x_0, x \in <a;b></m>. Potom existuje bod <m>\theta</m> mezi body x_0 a x tak, že platí
+<m>f(x) = \sum{n = 0}{\infty}{{f^{(n)}}/{n!}(x - x_0)^n}</m>
+</box>
+<box round 90% green|**Příklad**>
+<m>f(x) = sin(x), x_0 = 0</m>
+<m>f(x)\prime = cos(x)</m>
+<m>f(x)\prime\prime = -sin(x)</m>
+<m>f(x)\prime\prime\prime = -cos(x)</m>
+<m>f(x)^{(4)} = sin(x)</m>
+...
+<m>f(0) = 0</m>
+<m>f(0)\prime = 1</m>
+<m>f(0)\prime\prime = 0</m>
+<m>f(0)\prime\prime\prime = -1</m>
+<m>f(0)^{(4)} = 0</m>
+...
+<m>sin(x) = x - {x^3}/{3!} + {x^5}/{5!} - {x^7}/{7!} + ... + (-1)^{m - 1} . {x^{2m - 1}}/{(2m - 1)!} + R_m{x}</m>
+Dále:
+<m>cos(x) = 1 - {x^2}/{2!} + {x^4}/{4!} - {x^6}/{6!} + ... + (-1)^m . {x^{2m}}/{(2m)!} + R_m{x}</m>
+<m>e^x = 1 + x/{1!} + {x^2}/{2!} + {x^3}/{3!} + {x^4}/{4!} + ... + + {x^n}/{n!} + R_n{x}</m>
+Perlička:
+<m>e^{ix} = 1 + {ix}/{1!} + {{ix}^2}/{2!} + {{ix}^3}/{3!} + {{ix}^4}/{4!} + ... + + {{ix}^n}/{n!} + R_n{x}</m>
+<m>e^{ix} = 1 + i{x}/{1!} - {{x}^2}/{2!} - i{{x}^3}/{3!} + {{x}^4}/{4!} + ... + + {{ix}^n}/{n!} + R_m{x}</m>
+<m>e^{ix} = 1 - {{x}^2}/{2!} + {{x}^4}/{4!} + ... + i{x}/{1!} - i{{x}^3}/{3!} + ... + {{ix}^n}/{n!} + R_m{x}</m>
+<m>e^{ix} = (1 - {{x}^2}/{2!} + {{x}^4}/{4!}) + ... + i({x}/{1!} - {{x}^3}/{3!}) + ... + {{ix}^n}/{n!} + R_m{x}</m>
+<m>e^{ix} = cos(x) + isin(x)</m>
+</box>
+==== Průběh fce ====
+=== lokální extrémy pokračování ===
+<box round 90% red|**Věta**>
+Jestliže <m>f^\prime(c) = 0</m> a <m>f^\prime(c) \ne 0</m>, potom má fce f v bodě c lokální extrém. Pro <m>f^\prime(c) > 0</m> lokálné minimum, pro <m>f^\prime(c) < 0</m> lokální maximum.
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Nechť <m>f^\prime(c) = f^{\prime\prime}(c) = ... = f^{(n - 1)}(c) = 0, f^{(n)}(c) \ne 0, n \in N</m>
+jesliže je n sudé, potom má fce f v bodě c lokální extrém, <m>f^{(n)}(c) < 0</m> maximum, <m>f^{(n)}(c) > 0</m> minimum.
+</box>
+=== Konvexnost, konkávnost, inflexe ===
+<box round 90% blue|**Definice**>
+Řekneme, že funkce f je ryze konvexní na množine <m>M \subset R</m>, jestliže pro každé tři body <m>x_1, x_2, x_3 \in M, x_1 < x_2 < x_3</m>, leží bod <m>Q_2 = [x_2, f(x_2)]</m> pod přímkou <m>Q_1Q_3, Q_1 = [x_1, f(x_1)], Q_3 = [x_3, f(x_3)]</m>. Analogicky ryze konkávní.
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Nechť fce f je spojitá a nechť platí <m>f^\{\prime\prime}(x) > 0</m>, resp. <m>f^\{\prime\prime}(x) < 0</m>. Potom je fce ryze konvexní, resp. ryze konkávní.
+</box>
+<box round 90% blue|**Definice**>
+Řekneme, že fce f má v bodě c inflexy, jestli v každém neúplném okolí bodu c je fce rostoucí, resp. klesající a platí <m>f^\{\prime\prime}(c) = 0</m>
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Nechť <m>f^\prime(c) = f^{\prime\prime}(c) = ... = f^{(n - 1)}(c) = 0, f^{(n)}(c) \ne 0, n \in N</m>
+jesliže je n liché, potom má fce f v bodě c inflexy.
+</box>
+=== Asymptoty ===
+<box round 90% blue|**Definice**>
+Přímka <m>y = kx + q</m> se nazývá šikmou asymptotou grafu funkce f, jestliže platí
+<m>lim{x \right \infty^{+}}{[f(x) - kx - q]} = 0</m>,
+resp.
+<m>lim{x \right \infty^{-}}{[f(x) - kx - q]} = 0</m>.
+Přímka <m>x = c</m> se nazývá svislá asymptota, jestliže má fce f v bodě c alespoň jednu jednostranou nevlastní limitu
+</box>
+<box round 90% red|**Věta**>
+Přímka <m>y = kx + q</m> je šikmou asymptotou grafu fce f právě tehdy když platí
+<m>lim{x \right \infty^{-}}{f(x)/{x}} = k</m>, <m>lim{x \right \infty^{-}}{f(x) - kx} = q</m>.
+Analogicky pro <m>x \right -\infty^{+}}</m>
+</box>
+<box round 90% green|**Cvičení**>
+http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=870
+</box>
+===== Potvrzení =====
+<doodle single login|17a1>
+^ OK ^ !!! ^
+</doodle>
+{{tag>vagabund derivace lhopital taylor prubeh_fce}}
+~~DISCUSSION~~

temata/17a-matematicka_analyza/derivace_jedne_promenne/main.1298397521.txt.gz · Poslední úprava: 2011/02/22 18:58 autor: vagabund

Zobrazit stránku Starší verze

Zpětné odkazy Nahoru