Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- temata:17a-matematicka_analyza:diferencialni_rovnice [2011/03/03 10:44]
vagabund
+++ temata:17a-matematicka_analyza:diferencialni_rovnice [2011/04/21 11:46] (aktuální)
vagabund
@@ Řádek 32: / Řádek 32: @@
 **Actual Solution** - GS s dosazením IV
-**Implicitní/Explicitní řešení** - y = f(t)/0 = f(y,t)
+**Explicitní/Implicitní řešení** - y = f(t)/0 = f(y,t)
 </box>
@@ Řádek 40: / Řádek 40: @@
 == Lineární rovnice ==
-<box round 90% green|**Lineární rovnice**>
+<box round 90% red|**Lineární rovnice**>
 Tvar: <m>{dy}/{dt} + p(t)y = g(t)</m>
 Řešení: <m>y(t) = {\int{}{}{\mu(t)g(t)dt} + c}/{\mu(t)}</m>, <m>\mu(t) = e^{\int{}{}{p(t)dt}}</m>
+Řešení2:
+. určíme řešení rovnice <m>y\prime + p(t)y = 0</m> ve tvaru <m>y(t) = cF(t)</m>
+. <m>y(t) = cF(t)</m> přepíšeme na <m>y(t) = c(t)F(t)</m> a dosadíme do původní rovnice
+. spočíme c(t), dosadíme do <m>y(t) = c(t)F(t)</m>
+</box>
+== příklad ==
+<box round 90% green|**příklad**>
+<m>v\prime = 9.8 - 0.196v</m>
+upravíme do správného tvaru
+<m>v\prime + 0.196v = 9.8</m>
+<m>\mu(t) = e^{\int{}{}{0.196dt}} = e^{0.196t}</m>
+<m>y(t) = {\int{}{}{e^{0.196t}.9.8dt} + c}/{e^{0.196t}} = {{9.8}/{0.196}e^{0.196t} + c}/{e^{0.196t}} = 50 + ce^{-0.196t}</m>
+\\
+\\
+<m>v\prime + 0.196v = 0</m>
+<m>{dv}/{dt} = -0.196v</m>
+<m>{dv}/{v} = -0.196dt</m>
+<m>ln|v| = -0.196t + c</m>
+<m>|v| = e^{-0.196t + c}</m>
+<m>|v| = e^{-0.196t}e^c</m>
+<m>|v| = e^{-0.196t}c</m>
+**pro kladné v**:
+<m>v = ce^{-0.196t} \doubleright v = c(t)e^{-0.196t}</m>
+<m>v\prime = c(t)\prime e^{-0.196t} -0.196c(t)e^{-0.196t}</m>
+dosadíme:
+<m>c(t)\prime e^{-0.196t} -0.196c(t)e^{-0.196t} + 0.196.c(t)e^{-0.196t} = 9.8</m>
+<m>c(t)\prime e^{-0.196t} = 9.8</m>
+<m>c(t)\prime = 9.8e^{+0.196t}</m>
+<m>c(t) = 50e^{+0.196t} + k</m>
+<m>v = c(t)e^{-0.196t} = (50e^{+0.196t} + k)e^{-0.196t} = 50 + ke^{-0.196t}</m>
+**pro záporné v**:
+<m>-v = ce^{-0.196t} \doubleright v = c(t)(-1)e^{-0.196t}</m>
+<m>v\prime = c(t)\prime(-1)e^{-0.196t} +0.196c(t)e^{-0.196t}</m>
+dosadíme:
+<m>-c(t)\primee^{-0.196t} + 0.196c(t)e^{-0.196t} - 0.196.c(t)e^{-0.196t} = 9.8</m>
+<m>-c(t)\prime e^{-0.196t} = 9.8</m>
+<m>c(t)\prime = -9.8e^{+0.196t}</m>
+<m>c(t) = -50e^{+0.196t} + k</m>
+<m>v = -c(t)e^{-0.196t} = -(-50e^{+0.196t} - k)e^{-0.196t} = 50 - ke^{-0.196t} = 50 + ke^{-0.196t}</m>
 </box>
 == Separabilní dif. rovnice (Separable ...) ==
-<box round 90% green|**Separabilní dif. rovnice**>
+<box round 90% red|**Separabilní dif. rovnice**>
 Tvar: <m>N(u){dy}/{dx} = M(x)</m>
 Řešení: <m>N(u){dy}/{dx} = M(x) \doubleleftright N(u)dy = M(x)dx \doubleright \int{}{}{N(u)dy} = \int{}{}{M(x)dx}</m>
+</box>
+== příklad ==
+<box round 90% green|**příklad**>
+<m>y\prime = {3x^2 + 4x - 4}/{2y - 4}, y(1) = 3</m>
+<m>{dy}/{dx} = {3x^2 + 4x - 4}/{2y - 4}</m>
+<m>{2y - 4}{dy} = {3x^2 + 4x - 4}{dx}</m>
+<m>y^2 - 4y = x^3 + 2x^2 - 4x + k</m>
+partikularni reseni:
+<m>9 - 12 = 1 + 2 - 4 + k</m>
+<m>k = -2</m>
+<m>y^2 - 4y = x^3 + 2x^2 - 4x - 2</m>
 </box>
@@ Řádek 64: / Řádek 162: @@
 </box>
-<box round 90% green|**Second Order ODE, Homogenous, constant coeff.**>
+<box round 90% red|**Second Order ODE, Homogenous, constant coeff.**>
 Tvar: <m>ay\prime\prime + by\prime + cy = 0</m>
@@ Řádek 87: / Řádek 185: @@
 </box>
-<box round 90% green|**Second Order ODE, Nonhomogenous, constant coeff.**>
+<box round 90% red|**Second Order ODE, Nonhomogenous, constant coeff.**>
-Určíme homogenní a partikulární řešení.
+Určíme partikulární řešení.
 **Hádáním řešení (Undetermined Coefficients)**
@@ Řádek 98: / Řádek 196: @@
 | <m>asin(\beta t)</m> | <m>Acos(\beta t) + Bsin(\beta t)</m> |
 | <m>acos(\beta t) + asin(\beta t)</m> | <m>Acos(\beta t) + Bsin(\beta t)</m> |
+| <m>3t^2 + 4t + 6</m> | <m>At^2 + Bt + C</m> |
+Dopočítáme homogenní a dostaneme: <m>y(t) = Y_P(t) + Y_H(t)</m>
 </box>
+== příklad ==
+<box round 90% green|**příklad**>
+<m>y\prime\prime + 3y\prime - 10y = 0</m>
+charakteristicka rovnice:
+<m>{\lambda}^2 + 3{\lambda} - 10 = 0</m>
+<m>({\lambda} + 5)({\lambda} - 2) = 0</m>
+<m>{\lambda_1} = 2</m>
+<m>{\lambda_2} = -5</m>
+reseni:
+<m>y = c_1e^{2t} + c_2e^{-5t}</m>
+//
+//
+<m>y\prime\prime - 4y\prime + 4y = 0</m>
+charakteristicka rovnice:
+<m>{\lambda}^2 - 4{\lambda} + 4 = 0</m>
+<m>{({\lambda} -2)}^2 = 0</m>
+<m>{\lambda} = 2</m>
+reseni:
+<m>y = c_1e^{2t} + c_2te^{2t}</m>
+//
+//
+<m>y\prime\prime - 4y\prime + 9y = 0</m>
+charakteristicka rovnice:
+<m>{\lambda}^2 - 4{\lambda} + 9 = 0</m>
+<m>D = 16 - 36 = - 20</m>
+<m>{\lambda}_{1,2} = {4 \pm 2i\sqrt{5}}/2</m>
+<m>{\lambda}_{1,2} = 2 \pm i\sqrt{5}</m>
+reseni:
+<m>y = c_1e^{2t}sin(\sqrt{5}t) + c_2e^{2t}cos(\sqrt{5}t)</m>
+</box>
+<box round 90% green|**příklad**>
+<m>y\prime\prime - 4y\prime - 12y = 3e^{5t}</m>
+.) partikularni reseni hadanim
+<m>Y_p = Ae^{5t}</m>
+<m>Y_p\prime = 5Ae^{5t}</m>
+<m>Y_p\prime\prime = 25Ae^{5t}</m>
+<m>25Ae^{5t} - 20Ae^{5t} - 12Ae^{5t} = 3e^{5t}</m>
+<m>-7Ae^{5t} = 3e^{5t}</m>
+<m>A = -3/7</m>
+<m>Y_p = -3/7e^{5t}</m>
+.) homogenní řešení
+<m>{\lambda}^2 - 4{\lambda} - 12 = 0</m>
+<m>(\lambda - 6)(\lambda + 2) = 0</m>
+<m>\lambda_1 = 6</m>
+<m>\lambda_2 = -2</m>
+<m>Y_h = c_1e^{6t} + c_2e(-2t)</m>
+.) <m>Y = Y_h + Y_p</m>
+<m>Y = c_1e^{6t} + c_2e(-2t) + -3/7e^{5t}</m>
+</box>
+===== Potvrzení =====
+<doodle single login|17a3>
+^ OK ^ !!! ^
+</doodle>
+{{tag>vagabund obyc_diferencialni_rovnice linearni_rovnice}}
+~~DISCUSSION~~

temata/17a-matematicka_analyza/diferencialni_rovnice.1299145469.txt.gz · Poslední úprava: 2011/03/03 10:44 autor: vagabund

Zobrazit stránku Starší verze

Zpětné odkazy Nahoru