OBSAH WEBU
ČTĚTE!
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
|
temata:17a-matematicka_analyza:integraly_jedne_promenne:main [2011/02/28 19:26] vagabund |
temata:17a-matematicka_analyza:integraly_jedne_promenne:main [2011/03/15 14:54] (aktuální) vagabund |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 17: | Řádek 17: | ||
| </box> | </box> | ||
| - | {{temata:17a-matematicka_analyza:integraly_jedne_promenne:obsahintegra2.png}} | + | {{temata:17a-matematicka_analyza:integraly_jedne_promenne:obsahintegral2.png}} |
| + | <box round 90% orange|**equations???**> | ||
| + | obsah jednoho obdelniku je <m>dS = dx f(x)</m> | ||
| + | |||
| + | zintegrujeme obe strany | ||
| + | |||
| + | <m>S = \int{}{}{f(x) dx}</m> | ||
| + | |||
| + | tedy obsah ziskame integraci fce f | ||
| + | |||
| + | Pozn.: Nejedná se o formální odvození | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | === Základ === | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Nechť J je interval s krajními body a, b, a < b (mohou být nevlastní). Řekneme, ře funkce F je primitivní fukncí k funkci f na intergalu J, jestliže platí: | ||
| + | |||
| + | * a) pro každý bod <m>x \in (a, b)</m> platí <m>F^\prime(x) = f(x)</m>, | ||
| + | * b) <m>F^{\prime}_{+}(a) = f(a)</m>, resp. <m>F^{\prime}_{-}(a) = f(b)</m>, pokud <m>a \in J</m>, resp. <m>b \in J</m> | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta**> | ||
| + | Ke každé fci spojité na intervalu J existuje na tomto intervalu primitivní funkce | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta**> | ||
| + | Je-li F primitivní funkce k funkci j na intervalu J a c reálné číslo, potom i funkce H definovaná předpisem <m>H(x) = F(x) + c</m> je primitivní funkcí k funkci f na intervalu J | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta**> | ||
| + | Jestliže F a G jsou dvě primitivní funkce k funkci f ina intervalu J, potom funkce F - G je na intervalu J konstantní | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta**> | ||
| + | <m>{[\alpha_1 F_1(x) + \alpha_2 F_2(x) + ... \alpha_n F_n(x)]}\prime = \alpha_1 f^\prime_1(x) + \alpha_2 f^\prime_2(x) + ... \alpha_n f^\prime_n(x)]</m> | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Neurčitým integrálem rozumíme množinu všech primitivních funkcí | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90%|**Vzorečky**> | ||
| + | Základní vzorce pro integrály: | ||
| + | |||
| + | http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/3/gifa3/pc3da3aa.gif | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | === Rozklady === | ||
| + | |||
| + | <box round 90% green|**Co s tím**> | ||
| + | Složité integrály se snažíme rozložit na jednodušší podle základní početních pravidel | ||
| + | |||
| + | * použijeme základní vzorce | ||
| + | * per partes | ||
| + | * substituce | ||
| + | * rozklad na parciální zlomky | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta (per partes)**> | ||
| + | <m>\int{}{}{u^\prime(x)v(x)dx = u(x)v(x) - \int{}{}{u(x)v^\prime(x)}dx}</m> | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta (substituce)**> | ||
| + | <m>\int{}{}{f(g(x))g^\prime(x)dx} = \int{}{}{f(t)dt}, t = g(x)</m> | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta (parciální zlomky)**> | ||
| + | <m>\int{}{}{P(x)/Q(x)}</m> se snažíme upravit na: | ||
| + | |||
| + | * a) <m>\int{}{}{{A}/{(x - a)}dx} = A ln |x - a|</m> | ||
| + | * b) <m>\int{}{}{{A}/{(x - a)^n}dx} = -{A}/{(n - 1)(x - a)^{n - 1}}</m> | ||
| + | * c) <m>\int{}{}{{Mx + N}/{(x^2 + px + q)}dx}</m> | ||
| + | * d) <m>\int{}{}{{Mx + N}/{(x^2 + px + q)^n}dx}</m> (Př. na rekuretní výpočet) | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | === Příklady === | ||
| + | |||
| + | <box round 90% green|**Příklady**> | ||
| + | |||
| + | Odvoďte rekurentní vzorec pro výpočet integrálu | ||
| + | |||
| + | <m>I_n(x) = \int{}{}{dx/{(1+x^2)^n}}, n \in N</m> | ||
| + | |||
| + | 1.) integrujeme pomocí per partes | ||
| + | |||
| + | <m>\int{}{}{dx/{(1+x^2)^n}} = x/{(1+x^2)^n} - \int{}{}{x.(-n((1+x^2)^{-n - 1}).2x)} = x/{(1+x^2)^n} + 2n\int{}{}{{x^2}/{(1+x^2)^{n + 1}}}</m> | ||
| + | |||
| + | Z toho | ||
| + | |||
| + | <m>\int{}{}{{x^2}/{(1+x^2)^{n + 1}}} = \int{}{}{{x^2 + 1 - 1}/{(1+x^2)^{n + 1}}} = \int{}{}{{x^2 + 1}/{(1+x^2)^{n + 1}}} - \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^{n + 1}}} = \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^n}} - \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^{n + 1}}}</m> | ||
| + | |||
| + | Dáme dohromady | ||
| + | |||
| + | <m>\int{}{}{dx/{(1+x^2)^n}} = x/{(1+x^2)^n} + 2n(\int{}{}{{1}/{(1+x^2)^n}} - \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^{n + 1}}})</m> | ||
| + | |||
| + | <m>I_n(x) = x/{(1+x^2)^n} + 2n(I_n(x+1) - I_{n + 1}(x))</m> | ||
| + | |||
| + | <m>I_n(x) = x/{(1+x^2)^n} + 2nI_n(x+1) - 2nI_{n + 1}(x)</m> | ||
| + | |||
| + | <m>2nI_{n + 1}(x) = x/{(1+x^2)^n} + 2nI_n(x+1) - I_n(x)</m> | ||
| + | |||
| + | <m>2nI_{n + 1}(x) = x/{(1+x^2)^n} + (2n- 1)I_n(x+1)</m> | ||
| + | |||
| + | <m>I_{n + 1}(x) = {x/{(1+x^2)^n} + (2n- 1)I_n(x+1)}/{2n}</m> | ||
| + | |||
| + | <m>I_{n + 1}(x) = x/{2n.(1+x^2)^n} + {(2n- 1)}/{2n}I_n(x+1)}</m> | ||
| + | |||
| + | 2.) spočítáma integrál pro n = 1 | ||
| + | |||
| + | <m>I_1(x) = \int{}{}{dx/{(1+x^2)}} = arctg(x)</m> | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% green|**Příklady**> | ||
| + | |||
| + | <m>\int{}{}{{x^3 + 1}/{x^3 - x^2}dx}</m> | ||
| + | |||
| + | <m>{x^3 + 1}:{x^3 - x^2} = 1 + {x^2 + 1}/(x^3 - x^2)</m> | ||
| + | |||
| + | <m>{x^2 + 1}/{x^3 - x^2} = {x^2 + 1}/{x^2(x - 1)} = A/x + B/x^2 + C/{x - 1}</m> | ||
| + | |||
| + | <m>x^2 + 1 = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2 = A(x^2 - x) + B(x - 1) + Cx^2</m> | ||
| + | |||
| + | <m>x^2: 1 = A + C</m> | ||
| + | |||
| + | <m>x: 0 = -A + B</m> | ||
| + | |||
| + | <m>1: 1 = -B</m> | ||
| + | |||
| + | <m>B = -1, A = -1, C = 2</m> | ||
| + | |||
| + | <m>{x^2 + 1}/{x^3 - x^2} = -1/x - 1/x^2 + 2/{x - 1}</m> | ||
| + | |||
| + | takže celkem | ||
| + | |||
| + | <m>\int{}{}{{x^3 + 1}/{x^3 - x^2}dx} = \int{}{}{1 - 1/x - 1/x^2 + 2/{x - 1}} = x - ln|x| + 1/x + 2ln|x - 1|</m> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | === Teorie === | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Nechť je dán interval <a, b> a konečná posloupnost | ||
| + | |||
| + | <m>D = (x_0, x_1, ..., x_n)</m> | ||
| + | |||
| + | reálných čísel, pro která platí <m>a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b</m>. Potom D nazýváme dělením intervalu <a, b>, <m>x_i</m> dělící body. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Nechť f je funkce omezená na intervalu <a, b> a nechť D je dělení intervalu <a, b>. Označme <m>m_i</m>, resp. <m>M_i</m> infinum, resp. supremum funkce f na intervalu <m><x_{i-1}, x_i></m> pro <m>i \in {1, ..., n}</m>. Potom číslo | ||
| + | |||
| + | <m>L(f, D) = \sum{i = 1}{n}{m_i(x_i - x_{i - 1})}</m> | ||
| + | |||
| + | nazýváme dolním součtem a číslo | ||
| + | |||
| + | <m>U(f, D) = \sum{i = 1}{n}{M_i(x_i - x_{i - 1})}</m> | ||
| + | |||
| + | horním součtem funkce f na intervalu <a, b> při dělení D. | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Čísla | ||
| + | |||
| + | <m>\int{\_a}{b}{f(x)dx} = sup L(f, D)</m>, | ||
| + | |||
| + | <m>\int{a}{\_b}{f(x)dx} = inf U(f, D)</m> | ||
| + | |||
| + | nazýváme dolním a horním Riemanovým integrálem. Jestliže se obě čísla rovnají, říkáme, že funkce f je Riemanovsky integrovatelná na intervalu <a, b> a značíme <m>R \in <a, b></m> | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% blue|**Definice**> | ||
| + | Sestrojme libovolnou konečnou posloupnost | ||
| + | |||
| + | <m>T(D) = (t_1, ..., t_n)</m> | ||
| + | |||
| + | reálných čísel takových, že platí <m>t_i \in <x_{i - 1}, x_i></m> pro <m>i \in {1, ..., n}</m>. Číslo | ||
| + | |||
| + | <m>S(f, D, T) = \sum{i = 1}{n}{f(t_i)(x_i - x_{i - 1})}</m> | ||
| + | |||
| + | nazýváme integrálním součtem funkce f na intervalu <a, b> při dělení D a volbě T(D) | ||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90%|**Poznámka**> | ||
| + | Zvolme posloupnost <m>D_1, D_2, ..., D_k, ...</m>, | ||
| + | |||
| + | pro ni potom <m>S_k = s(f, D_k, T(D_k)), k \in N</m>. | ||
| + | |||
| + | Jestliže <m>lim{k \right \infty}{v(D_k)} = 0</m>, | ||
| + | |||
| + | potom platí: | ||
| + | |||
| + | <m>lim{k \right \infty}{S_k} = \int{a}{b}{f(x)dx}</m> | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% red|**Věta (Newton-Leibnizův vzorec)**> | ||
| + | Nechť <m>f \in R<a, b></m> a nechť existuje primitivní funkce F k funkci f na <a, b>. Potom platí rovnost: | ||
| + | |||
| + | <m>\int{a}{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)</m> | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | === Numerické metody === | ||
| + | |||
| + | <box round 90% green|**Předpoklady**> | ||
| + | |||
| + | <a, b> ... interval | ||
| + | |||
| + | <m> h = {b - a}/n</m> | ||
| + | |||
| + | n ... počet částečných intervalů | ||
| + | |||
| + | <m>D_i = max \lbrace |f^{(i)}(x)|: x \in <a, b> \rbrace, i \in \lbrace 1, 2, 4\rbrace</m> | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% green|**Obdélníková metoda**> | ||
| + | |||
| + | <m>\int{a}{b}{f(x)dx} \approx hy_0 + hy_1 + ... + hy_{n - 1} = h(y_0 + y_1 + ... + y_{n - 1})</m> | ||
| + | |||
| + | chyba metody: | ||
| + | |||
| + | <m>R_n <= {(b - a)^2 D_1}/n</m> | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% green|**Lichoběžníková metoda**> | ||
| + | |||
| + | <m>\int{a}{b}{f(x)dx} \approx h{y_0 + y_1}/2 + h{y_1 + y_2}/2 + ... + h{y_{n-1} + y_n}/2 = {(b - a)}/{2n} (y_0 + 2y_1 + ... + 2y_{n - 1} + y_n)</m> | ||
| + | |||
| + | chyba metody: | ||
| + | |||
| + | <m>R_n <= {(b - a)^3 D_2}/{12n^2}</m> | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | <box round 90% green|**Simpsonova metoda**> | ||
| + | |||
| + | <m>\int{a}{b}{f(x)dx} \approx {(b - a)}/{3n} (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + ... + 2y_{n - 2} + 4y_{n - 1} + y_n)</m> | ||
| + | |||
| + | chyba metody: | ||
| + | |||
| + | <m>R_n <= {(b - a)^5 D_4}/{180n^4}</m> | ||
| + | |||
| + | Pozn. n musí být sudé | ||
| + | |||
| + | </box> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | === Odkazy === | ||
| + | * http://cs.wikipedia.org/wiki/Integrál | ||
| + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2Fsqrt%281+%2B+x%5E2%29+dx | ||
| + | * http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-I/sc-5-sr-1-a-4/default.aspx | ||
| + | * | ||
| + | ===== Potvrzení ===== | ||
| + | |||
| + | <doodle single login|XX> | ||
| + | ^ OK ^ !!! ^ | ||
| + | </doodle> | ||
| + | |||
| + | {{tag>vagabund integraly per_partes parcialni_zlomky urcity_integral}} | ||
