Obsah

Stejnosměrné lineární obvody

Základní pojmy

Ohmův zákon

Popis

Vztah
R = U/I


ohm_rule.jpgohm_graph.jpg
elektrický obvodgraf závislosti napětí na proudu

Kirchhoffovy zákony

Popis

1. Kirchhoffův zákon
Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule:
\sum{k=1}{n}{I_k} = 0


2. Kirchhoffův zákon
Algebraický součet všech svorkových napětí zdrojů a všech úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené smyčce rovná nule:

\sum{k=1}{n}{U_k} = 0


kirchhof2.jpg
Příklad smyčky

Aplikace II. Kirchhodova zákona

R_1I_1 + U_1 + R_2I_2 - U_2 + R_3I_3 - R_4I_4 = 0

Zdroje stejnosměrného napětí a proudu

Popis

  • Napětí na svorkách se nazývá svorkové napětí (svorky ⇒ vývody zdroje: +, -)
  • Každý zdroj má vnitřní odpor
  • Při řešení obvodů se používá ideální zdroj (viz. níže)
  • zatěžovací charakteristika zdroje - závislost napětí zdroje na proudu zdroje

Ideální zdroj napětí

Popis

Vnitřní odpor zdroje roven 0, tzn. dává stále stejné napětí bez ohledu na připojené záteže.

idealninapeti.jpg

Ideální zdroj proudu

Popis

Vnitřní odpor zdroje je nekonečně velký, tzn. zdroj dodává stále stejný proud bez ohledu na připojené záteže.
idealniproud.jpg

Skutečná zdroj napětí

Popis

Tvořen ideálním zdrojem napětí U_0 zapojeném v sérii s vnitřním odporem R_i.

skutecnenapeti.jpg

Připojením zatěžovacího rezostoru R_z bude obvodem procházet proud
I_z = {U_0}/{R_i + R_z}

Napětí na výstupních svorkách zdroje je:

U_0 = U_z + I_zR_z

Dosazením I_z dostaneme:

U_z = {R_z}/{R_i + R_z}U_0

Spojením svorek (R_z = 0) protéka obvodem zkratový proud (proud nakrátko) dán vztahem:

I_k = {U_0}/{R_i}

Zatěžovací charakteristika zdroje napětí
Udává nám, jak se mění svorkové napětí zdrojem změnou zatěžovacího odporu.

Skutečný zdroj proudu

Popis

Tvořen ideálním zdrojem proudu I_0, k němuž je vnitřní odpor R_i připojen paralélně.

Připojením zatěžovacího rezistoru R_z odebírající proudu I_z se vytváří na výstupních svorkách napětí:
U_z = R_i(I_0 - I_z)

Spojením nakrátko prochází obvodem proud I_k = I_0. Při odpojení zatěžovacího rezistoru je na výstupních svorkách napětí naprázdno rovno

U_z = R_i I_0

V ostatních případech je svorkové napětí:

U_z = {R_i R_z}/{R_i + R_z}I_0

Zatěžovací charakteristika zdroje proudu

Spojování zdrojů napětí

Popis

sériové zapojení
Spojujeme kladný pól jednoho zdroje se záporným pólem druhého zdroje, napětí se sčítají.

paralelní zapojení
Spojujeme všechny kladné svorky a všechny záporné svorky, proudy se sčítají.

Řešení eletrických obvodů

Popis

Obvody řešíme matematicky sestavením rovnic na základě Kirchhofových zákonů.

Stejnosměrné obvody s jedním zdrojem

Popis

Obvod se skládá z jednoho zdroje a zátěže, která je tvořena jedním a více odporů různě zapojených. Postupujeme tak, že určíme celkový odpor všech rezistorů podle známých pravidel. Pomocí Ohmova zákona určíme proud. Nakonec určíme napětí. Zpětně zpočítáme proud a napětí na jednotlivých rezistorech.

Příklad

Vypočtěte proudy a napětí na všech prvcích obvodu uvedeného na obrázku. Hodnoty obvodových prvků jsou:
VeličinaHodnota
U48 V
R_12 \Omega
R_215 \Omega
R_38 \Omega
R_43 \Omega
R_56 \Omega

Uzly jsou označeny A, B, C.
priklad1.jpg
1. výpočet celkového odporu

R_{45} = {R_4 R_5}/{R_4 + R_5} = {3.6}/{3 + 6} = 2\Omega


R_{345} = R_3 + R_{45} = 8 + 2 = 10\Omega


R\prime = {R_2 R_{345}}/{R_2 + R_{345}} = {15.10}/{15 + 10} = 6\Omega


Výsledný odpor:

R = R_1 + R\prime = 2 + 6 = 8\Omega


2. proud, napětí

I_1 = U/R = {48}/{8} = 6A


U_1 = R_1 I_1 = 2.6 = 12V


U_{AC} = R\prime I_1 = 6.6 = 36V


I_2 = {U_{AC}}/{R_2} = {36}/{15} = 2,4A


I_3 = {U_{AC}}/{R_{345}} = {36}/{10} = 3,6A


U_2 = R_2 I_2 = 15.2,4 = 36V


U_3 = R_3 I_3 = 8.3,6 = 28,8V


U_{BC} = U_4 = U_5


U_4 = U_{BC} = R_{45}I_3 = 2.3,6 = 7,2V


I_4 = {U_4}/{R_4} = {7,2}/{3} = 2,4A


I_5 = {U_5}/{R_5} = {7,2}/{6} = 1,2A


3a). kontrola uzlových proudů
Uzel A

I_1 - I_2 - I_3 = 0


6 - 2,4 - 3,6 = 0


Uzel B

I_3 - I_4 - I_5 = 0


3,6 - 2,4 - 1,2 = 0


Uzel C

I_2 + I_4 + I_5 - I_1 = 0


2,4 + 2,4 + 1,2 - 6 = 0


3b). kontrola smyčkových napětí
Smyčka a

U_1 + U_2 - U = 0


12 + 36 - 48 = 0


Smyčka b

U_3 + U_4 - U_2 = 0


28,8 + 7,2 - 36 = 0


Stejnosměrné obvody s více zdroji

Popis

Opět aplikace Kirchhofových zákonů. Sestavíme tolik rovnic, kolik máme neznámých. U zdrojů musíme znát napětí a polaritu. Smysl proudů ve větvích označíme šipkou (uzavřenou) od kladné svorky zdroje k záporné. U proudů, jejichž smysl neznáme, volíme libovolné smysly. Vyjde-li při matematickém řešení velikost nějakého proudu záporná, znamená to, že skutečný proud prochází v opačném smyslu.

Příklad

V obvodu podle zapojení na obrázku vypočtěte proudy I_1 a I_2. Hodnoty obvodových prvků jsou
VeličinaHodnota
U_112 V
U_21 V
R_12 \Omega
R_23 \Omega
I_A3 A


priklad2.jpg
Výpočet
V obvodu označíme předpokládané smysly proudů, uzel A a B a směr oběhu ve smyčce. Pro uzel A platí:

I_A + I_2 − I_1 = 0

Pro smyčku platí:

R_1 I_1 − U_1 + U_2 + R_2 I_2 = 0

Po úpravě a dosazení číselných hodnot napětí, rezistorů a proudu bude

\matrix{2}{5}{{I_1} {−} {I_2} {=} {3} {2I_1} {+} {3I_2} {=} {11}}

Po vyřešení soustavy rovnic o dvou neznámých dostáváme

I_1 = 4 A, I_2 = 1 A

Kontrola
Uzel A

3 + 1 − 4 = 0

Smyčka

2·4 − 12 + 1 + 3·1 = 0

Metody řešení elektrických obvodů

Popis

Aplikací Kirchhofových zákonů vzniká velký počet rovnic a zdlouhavé řešení. Níže několik zjednodušení.

Metoda smyčkových proudů

Popis

Postup
  1. Označíme v každé smyčce smyčkový proud a na každém prvku předpokládaný smysl skutečného proudu.
  2. Pro každou smyčku sestavíme obvodovou rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona. Tím dostaneme soustavu rovnic.
  3. Řešením soustavy rovnic vypočteme smyčkové proudy.
  4. Skutečné proudy stanovíme smyčkovými proudy, napětí na jednotlivých prvcích pak vypočteme pomocí Ohmova zákona. Vyjde-li nějaký skutečný proud se záporným znaménkem, je jeho smysl opačný, než jsme předpokládali.

Příklad

V obvodu zapojeném podle obrázku stanovte proudy procházející všemi prvky obvodu. Hodnoty obvodových prvků jsou:
VeličinaHodnota
R_12 \Omega
R26 \Omega
R32 \Omega
R43 \Omega
R52 \Omega
R66 \Omega
U1120 V
U26 V
U380 V


priklad3.jpg
Při řešení použijeme tři smyčky, a tudíž si označíme tři smyčkové proudy I_a, I_b a I_c. Na každém rezistoru označíme předpokládaný smysl skutečného proudu a to I_1, I_2, I_3, I_4, I_5 a I_6. Sestavíme pro každou smyčku rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona.
Pro smyčku a

R_1 I_a + R_2(I_a − I_b) − U_1 = 0

Pro smyčku b

R_3 I_b + U_2 + R_5(I_b − I_c) + R_4 I_b + R_2(I_b − I_a) = 0

Pro smyčku c

R_6 I_c + U_3 + R_5(I_c − I_b) = 0

Po úpravě dostaneme soustavu rovnic

\matrix{3}{7}{{(R_1 + R_2)I_a} {−} {R_2 I_b} {} {} {=} {U_1} {−R_2 I_a} {+} {(R_2 + R_3 + R_4 + R_5)I_b} {−} {R_5 I_c} {=} {−U_2} {} {} {−R_5 I_b} {+} {(R_5 + R_6)I_c} {=} {−U_3}}

Po dosazení číselných hodnot napětí zdrojů a rezistorů dostaneme jednoduchou soustavu rovnic o třech neznámých

\matrix{3}{7}{ {8I_a} {−} {6I_b} {} {} {=} {120} {−6I_a} {+} {13I_b} {−} {2I_c} {=} {−6} {} {} {−2I_b} {+} {8I_c} {=} {−80}}

Řešením soustavy dostaneme příslušné proudy

\matrix{3}{1}{{I_a = 21 A} {I_b = 8 A} {I_c = −8 A}}

Skutečné proudy získáme pomocí smyčkových proudů

\matrix{3}{1}{{I_1 = I_a = 21 A} {I_2 = I_a − I_b = (21 − 8) A = 13 A} {I_3 = −I_b = −8 A}}

skutečný proud I_3 prochází v opačném smyslu, než jsme předpokládali

\matrix{3}{1}{{I_4 = I_b = 8 A} {I_5 = I_b − I_c = [8 − (−8)] A = 16 A} {I_6 = −I_c = −(−8) A = 8 A}}

Metoda uzlových napětí

Popis

Podstata metody uzlových napětí spočívá v tom, že na uzly obvodu aplikujeme první Kirchhoffův zákon. Jeden uzel označíme (volíme vhodně) jako uzel referenční. Volíme takový uzel, ve kterém je spojeno nejvíce prvků.
Postup
  1. Označíme jednotlivé uzly, přičemž jeden z nich zvolíme jako referenční uzel.
  2. Mezi jednotlivými uzly a uzlem referenčním označíme uzlová napětí.
  3. Pro každý uzel napíšeme rovnici pomocí prvního Kirchhoffova zákona. Proudy v prvcích obvodu vyjádříme pomocí uzlových napětí, napětí zdrojů a odporů rezistorů nebo jejich vodivostmi. Získáme tak soustavu rovnic, kde neznámá jsou uzlová napětí.
  4. Řešením soustavy rovnic dostaneme uzlová napětí.
  5. Pomocí uzlových napětí stanovíme proudy nebo napětí v jednotlivých prvcích obvodu.

Příklad

Stanovte napětí a proudy na všech prvcích obvodu zapojeného podle obrázku, kde napětí zdroje U = 9 V, proud proudového zdroje I = 0,15 A. Odpory rezistorů jsou R_1 = 30 \Omega, R_2 = 24 \Omega.
VeličinaHodnota
U9 V
I0,15 A
R_130 \Omega
R_224 \Omega

priklad4.jpg
Označíme uzly A a D, přičemž uzel D volíme jako referenční, pak uzlové napětí má uzel A vzhledem k uzlu D a označíme ho jako UA.
Sestavíme rovnici pro uzel A

I + I_1 − I_2 = 0

Po dosazení dostaneme

I + U − U_A R_1 − U_A R_2 = 0

Z rovnice vypočteme uzlové napětí UA

U_A = {IR_1 R_2 + IR_2}/{R_1 + R_2}

Po dosazení číselných hodnot zdrojů a rezistorů dostaneme uzlové napětí

U_A = {0,15.30.24 + 9.24}/{30 + 24} = 6 V

Výpočet proudů

I_1 = {U − U_A}/{R_1} = {9 − 6}/{30} = 0,1 A
I_2 = {U_A}/{R_2} = 6/{24} = 0,25 A

Napětí na rezistorech

UR_1 = U − U_A = (9 − 6) = 3 V
UR_2 = U_A = 6 V

Thevininova poučka

Popis

Lineární obvod obsahující jeden či více zdrojů a další lineární součástky může být reprezentován zdrojem napětí a odporem.
U skutečného zdroje napětí je U_0 napětí ideálního zdroje napětí a R_i je vnitřní odpor. Napětí U_0 v libovolně složitém obvodu stanovíme jako napětí naprázdno na výstupních svorkách.
U_0 = {R_2}/{R_1 + R_2}U

thevenin1.jpg
Vnitřní odpor určíme jako odpor mezi výstupními svorkami v případě, že odpojíme zátěž a zdroj napětí zkratujeme, případně zdroj proudu vyřadíme.

R_i = {R_1 R_2}/{R_1 + R_2}

thevenin2.jpg

Odkaz

Thevenin's Theorem

Potvrzení

00-02
Celé jménoOK!!!
, , , , , ,