temata:00-zaklady_elektriny:03-linearni_obvody

Harmonický střídavý proud (střídavé napětí)

Proud a napětí s nulovou počátečná fází

Popis

Proud zapsán ve tvaru:

$i = I_M sin(\omega t)$

	okamžitá hodnota proudu [A]
	maximální hodnota proudu [A]
$\omega$	kruhový kmitočet [ $rad.s^{-1}$ ]

Napětí zapsáno ve tvaru:

$u = U_M sin(\omega t)$

	okamžitá hodnota napětí [V]
	maximální hodnota napětí [V]

Proud a napětí s nenulovou počátečná fází

Popis

Proud

$i = I_M sin(\omega t + \varphi_0)$

Napětí

$u = U_M sin(\omega t + \varphi_0)$

Obvody se střídavým zdrojem

Ideální rezistor

Popis

Rezistorem připojeným na napětí $u = U_M sin(\omega t)$ protéká proud

$i = u/R = {U_M}/{R} sin(\omega t) = I_m sin(\omega t)$


zapojení	graf proudu/napětí

Proud a napětí mají stejné fáze

Ideální cívka

Cívka je jak dívka, první napětí, potom proud

Popis

Procházející sinusový proud $i = I_M sin(\omega t)$ vybudí střídavý magnetický tok, který je ve fázi s proudem i.

$u_L = N {\Delta \Phi}/{\Delta t} = L {\Delta i}/{\Delta t}$

Pokud prochází cívkou střídavá proud $i = I_M sin(\omega t)$ , pak napětí na cívce bude

$u = U_M sin(\omega t + {\pi}/2)$

Indukční reaktance ideální cívky (odpor cívky) je rovna

$X_L = \omega L = 2\pi fL$

Proud potom bude

$I = U/{X_L} = U/{\omega L}$


zapojení	graf proudu/napětí

Napětí předbíha proud o ${\pi}/2$ , tj. fáze $\varphi = {\pi}/2$

Ideální Kondenzátor

Kondenzátor sbírá proud (náboj), ten následně vyvolává napětí

Popis

$i = {\Delta q}/{\Delta t} = C {\Delta u}/{\Delta t}$

Bude-li napětí na kondenzátoru $u = U_M sin(\omega t)$ , potom proud bude roven

$i = I_M sin(\omega t + {\pi}/2)$

Kapacitní reaktance ideálního kondenzátoru (odpor kondenzátoru) je roven

$X_C = 1/{\omega C}$

Proud potom bude

$I = U/{X_C} = U/{1/{\omega C}} = U\omega C$


zapojení	graf proudu/napětí

Napětí je zpožděné před proudem o ${\pi}/2$ , tj. fáze $\varphi = -{\pi}/2$

Sériové zapojení R a L

Popis

Napětí na ideálním rezistoru U_R

je ve fázi s proudem. Napětí na ideální cívce U_L

předbíhá proud o 90°.

Napětí je rovno (výpočet pomocí Pythagorovy věty, obr. níže)

$U = \sqrt{{U_R}^2 + {U_L}^2} = I\sqrt{{X_R}^2 + {X_L}^2}$

Impedence je potom rovna

$Z = \sqrt{{X_R}^2 + {X_L}^2}$

Proud procházející obvodem vypočteme ze vztahu

$I = U/Z = U/{\sqrt{{X_R}^2 + {X_L}^2}}$

Posun mezi napětím a proudem je roven:

$tg\varphi = {U_L}/{U_R} = {X_L}/{X_R}$

fázorový diagram

Sériové zapojení R a C

Popis

Oběma prvky prochází stejný proud I. Napětí na ideálním rezistoru U_R

je ve fázi s proudem

. Napětí ideálním kondenzátoru U_C

se zpožďuje za proudem o 90°.

Napětí je rovno (výpočet pomocí Pythagorovy věty, obr. níže)

$U = \sqrt{{U_R}^2 + {U_C}^2} = I\sqrt{{X_R}^2 + {X_C}^2}$

Impedence je potom rovna

$Z = \sqrt{{X_R}^2 + {X_C}^2}$

Proud procházející obvodem vypočteme ze vztahu

$I = U/Z = U/{\sqrt{{X_R}^2 + {X_C}^2}}$

Posun mezi napětím a proudem je roven:

$tg\varphi = {U_C}/{U_R} = {X_C}/{X_R}$

fázorový diagram

Sériové zapojení L a C

Popis

Výsledné napětí

je dáno součtem fázorů napětí U_L

$\vec{U} = \vec{U_L} + \vec{U_C}$

Sériové zapojení R, L a C

Popis

$U = \sqrt{{U_R}^2 + {(U_L - U_C)}^2}$

Impedence je potom rovna

$Z = \sqrt{{X_R}^2 + {X}^2}, X^2 = {X_L - X_C}^2$

Mohou nastat tři případy:

: indukční charakter obvodu
: kapacitní charakter obvodu
: sériová rezonance, $Z = R, f_0 = 1/{2\pi\sqrt{LC}}$

$tg\varphi = {X}/{R} = {X_L - X_C}/{R} = {\omega L - 1/{\omega C}}/{R}$

fázorový diagram

Paralelní zapojení R a C

Popis

Paralelně spojené prvky mají stejné napětí.

$I_C = 1/{X_C} U$

Proud ideálním rezistorem I_R je ve fázi s napětím . Proud ideálním kondenzátorem I_C předbíhá napětí o 90°.

$I = \sqrt{{I_R}^2 + {I_C}^2} = \sqrt{1/{R}^2 + 1/{X_C}^2}$

Posun mezi napětím a proudem je roven:

$tg\varphi = {I_C}/{I_R} = \omega RC$

fázorový diagram

Paralelní zapojení R a L

Popis

$I_L = 1/{X_L} U$

Proud ideálním rezistorem I_R je ve fázi s napětím . Proud ideální cívkou I_L se zpožďuje za napětím o 90°.

$I = \sqrt{{I_R}^2 + {I_L}^2} = \sqrt{1/{R}^2 + 1/{X_L}^2}$

Posun mezi napětím a proudem je roven:

$tg\varphi = {I_L}/{I_R} = R/{\omega L}$

fázorový diagram

Paralelní zapojení R, C a L

Popis

Pro celkový proud platí

Proud ideálním rezistorem I_R je ve fázi s napětím . Proud ideální cívkou I_L se zpožďuje za napětím o 90°.

$I = \sqrt{{I_R}^2 + {I_C - I_L}^2} = \sqrt{(1/R)^2 + (1/{X_C} - 1/{X_L})^2}$

Posun mezi napětím a proudem je roven:

$tg\varphi = {I_L}/{I_R} = R/{\omega L}$

fázorový diagram

Paralelní zapojení C a L

Popis

Proud procházející ideální cívkou je zpožděn za napětím o 90°. Proud procházející ideálním kondenzátorem předbíhá napětí o 90°. Výsledný proud

má proti napětí fázový posun −90° nebo +90° podle toho, který z těchto proudů je větší.

$Z = 1/{\omega C - 1/{\omega L}}$

Pokud $\omega C = 1/{\omega L}$ , nastává rezonance, $f_0 = 1/{2\pi\sqrt{LC}}$

fázorový diagram

Popis obvodů komplexními čísly

Popis

$\vec{R} = R$

$\vec{X_L} = j\omega L$

$\vec{X_C} = −j 1/{\omega C}$

Sériové zapojení

Popis

Ideální rezistor v sérii s ideální cívkou

$\vec{U_R} = R\vec{I}$

$\vec{U_L} = jU_L = j\omega L\vec{I}$

$\vec{U} = \vec{U_R} + \vec{U_L} = R\vec{I} + j\omega L\vec{I} = (R + j\omega L)\vec{I}$

Absolutní hodnota impedance:

$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$

Fázový posun:

$tg\varphi = {\omega L}/{R}$

Ideální rezistor v sérii s ideálním kondenzátorem

$\vec{U_R} = R\vec{I}$

$\vec{U_C} = −j1/{\omega C} I$

$\vec{U} = \vec{U_R} + \vec{U_C} = (R − j1/{\omega C})\vec{I}$

Ideální rezistor, ideální cívka a ideální kondenzátor v sérii

$\vec{U} = \vec{U_R} + \vec{U_L} + \vec{U_C} = (R + j\omega L − j1/{\omega C})\vec{I}$

Paralelní zapojení

Popis

Ideální rezistor paralelně s ideálním kondenzátorem

$\vec{I} = \vec{I_R} + \vec{I_C} = (1/R + j\omega C)\vec{U}$

Ideální rezistor paralelně s ideální cívkou

$\vec{I} = \vec{I_R} + \vec{I_L} = (1/R − j1/{\omega L})\vec{U}$

Příklad

Stanovte proud, který dodává zdroj do zát2že obvodu, jehož schéma zapojení je na obrázku. Odpory ideálních rezistor; jsou $R_1 = 0,5 \Omega, R_2 = 1,4 \Omega, R_3 = 2,5 \Omega$ . Kapacity ideálních kondenzátor; jsou $C_1 = 159 \mu F, C_2 = 200 \mu F$ , indukčnost cívky je L = 0,38 mH

. Napětí zdroje je 10 V

, frekvence 1 000 Hz

Veličina	Hodnota
	$0,5 \Omega$
	$1,4 \Omega$
	$2,5 \Omega$
	$159 \mu F$
	$200 \mu F$

Výpočet
Podle prvního Kirchhoffova zákona platí vztah:

$\vec{I} = \vec{I_1} + \vec{I_2} + \vec{I_3}$

$\vec{I_1} = {\vec{U}}/{R_1 + j2\pif L − j1/{2\pi fC_1}} = {10}/{0,5 + j2,39 − j1} A$

$\vec{I_2} = {\vec{U}}/{R_2 − j/{2\pi fC_2}} = {10}/{1,4 − j0,8} A$

$\vec{I_3} = {\vec{U}}/{R_3} = {10}/{2,5} A$

Metoda smyčkových proudů

Popis

Postup je obdobný jako s proudem stejnosměrným

Pro smyčku s proudem I_a

platí

$j\omega L_1\vec{I_a} + (R_1 − j/{\omega C_1})(\vec{I_a} − \vec{I_b}) − \vec{U} = 0$

Pro smyčku s proudem I_b platí

$(R_2 − j/{\omega C_2} + j\omega L_2)\vec{I_b} + (R_1 − j/{\omega C_1})(\vec{I_b} − \vec{I_a}) = 0$

Metoda uzlových napětí

Popis

Postup je obdobný jako s proudem stejnosměrným

Pro uzel A

$−\vec{I_1} + \vec{I_2} + \vec{I_3} = 0$

Pro uzel B

$−\vec{I_3} − \vec{I_4} + \vec{I_5} = 0$

Příklad

Vypočítejte napětí na ideální cívce metodou uzlových napětí a proud procházející ideální cívkou metodou smyčkových proudů v zapojení podle obrázku, kde $U = 6 V, R_1 = 2 \Omega, R_2 = 6 \Omega, L = 12,74 mH$ , frekvence 50 Hz

Veličina	Hodnota

	$2 \Omega$
	$6 \Omega$

Řešení - uzlová napětí

$X_L = 2\pi fL = 4 \Omega$

Pro uzel A platí

$\matrix{2}{3}{{−\vec{I_1} + \vec{I_L} + \vec{I_2}} {=} {0} {−{\vec{U} − \vec{U_A}}/{R_1} + {\vec{U_a}}/{jXL} + \vec{U_A}/{R_2}} {=} {0}}$

Po dosazení a úpravách dostaneme

$U_A = U_L = 4,21e^{j21\pi} V$

Řešení - smyčkové proudy
Pro smyčku I_a platí

$R_1\vec{I_a} + jX_L(\vec{I_a} − \vec{I_b}) − \vec{U} = 0$

Pro smyčku I_b platí

$R_2\vec{I_b} + jX_L(\vec{I_b} − \vec{I_a}) = 0$

Po dosazení a úpravách dostaneme

$I_L = 1,03e^{−j69\pi} A$

Theveninova poučka

Popis

Libovolný obvod složený z lineárních prvků lze nahradit impedancí Z_i

zapojenou do série s ideálním zdrojem napětí U_0

stanovíme jako napětí naprázdno, Z_i

jako impedanci mezi uvažovanými svorkami původního obvodu, jsou-li všechny zdroje napětí nahrazeny zkratem, všechny zdroje proudu odpojeny a rovněž odpojena zátěž.