Obsah

12 - Transformace, reprezentace a zobrazení 3D objektů
Diskuze

12 - Transformace, reprezentace a zobrazení 3D objektů

Geometrické transformace

jsou jedny z nejčetnějších operací v současné počítačové grafice
můžeme je chápat jako změnu pozice vrcholů v aktuálním souřadnicovém systému nebo jako změnu souřadnicového systému
lineární transformace - jsou popsány lineárními rovnicemi
kartézská soustava souřadnic
- je taková soustava souřadnic, u které jsou souřadné osy vzájemně kolmé a protínají se v jednom bodě - počátku soustavy souřadnic
1. pravotočivá - normální, co používáme
2. levotočivá - osa x a y je přehozená
homogenní souřadnice
- homogenní souřadnice bodu v 3D s kartézskými souřadnicemi [x,y,z] je uspořádána čtveřice [X,Y,Z,w] pro kterou platí:
  1. x = X/w
  2. y = Y/w
  3. z = Z/w.
  4. w = váha bodu
    - lineární transformace: w = 1
    - vektory v´ = (x,y,z) reprezentujeme trojicí (x,y,z,0)
- bod je svými homogenními souřadnicemi určen jednoznačně
- jsou zavedeny kvůli jednotné manipulaci se všemi transformačními maticemi, protože v případě kartézských souřadnic by jsme u posunutí použili sčítání a u ostatních operací zase násobení ⇒ takto všude použijeme násobení matic, tj. jednotný způsob (ulehčí implementaci)
- bod, který chceme transformovat, má matici P(x, y, z, w), kde x, y, z jsou jeho souřadnice, w je 1 pokud je to bod, 0 pokud je to vektor.
transformační matice ve 3D
- matice 4*4
- tuto obecnou transformační matici získáme násobením dílčích základních transformačních matic
- násobení matic musí být z pravé strany a v přesném pořadí provádění jednotlivých transformací

Posunutí

pro posun v opačném směru budou koeficienty d záporné

Změna velikosti

pro zmenšení se místo S použije 1/S.

Rotace

střed otáčení v počátku souřadného systému.

Zkosení

Kombinace

vynásobení matic

Reprezentace 3D objektů

základní metody
1. Konstruktivní geometrie - CSG
2. Šablonování (translační, rotační, potahování)
3. Dekompoziční modely
4. Hraniční reprezentace
5. Implicitní plochy - potenciální pole elementárních částic
požadavky na modely:
- obecnost (popis co nejrozsáhlejší třídy objektů)
- úplnost (úplně popisuje daný objekt)
- jednoznačnost (lze vyhodnotit pouze jedním způsobem)
- unikátnost, jedinečnost (jednomu tělesu odpovídá jeden model)
- přesnost (popisu objektu)
- regulérnost (nemožnost vytvořit nereálnou reprezentaci)
- konzistence vůči vybraným operacím tělesa stejné třídy
- kompaktnost (malá paměťová náročnost)
- možnost efektivního zpracování (možnost efektivní implementace operací s tělesem)
typy objektů:
1. manifold - hrana sdílí jen 2 stěny, vyrobitelný
2. nonmanifold - nevyrobitelný objekt
Eulerovy rovnice
- slouží pro kontrolu topologie objektu ⇒ platí pro manifold (hrana spojuje 2 vrcholy, ve vrcholu maximálně 3 hrany, stěny se neprotínají)
regularizované množinové operace
- skládání objektů
- nesmí měnit topologickou dimenzi objektu
- výsledek je vždy těleso
- -*, ∪*, ∩*
projekce
- 3D objekty zobrazujeme na 2D výstupu
- projekční paprsek promítá body na průmětnu
- dochází ke ztrátě informace
1. perspektivní (středová)
  - je zvolený střed projekce
  - velikost průmětu nezávisí na vzdálenosti od průmětny
  - užití: virtuální realita, architektura, hry
  - kavalírská projekce - všechny osy mají stejné měřítko
  - kabinetní projekce - osa Z je v měřítku 1/2 vůči ostatním osám
2. paralelní (rovnoběžná)
  - zachovává rovnoběžnost hran ⇒ paprsky kolmé na průmětnu ⇒ střed projekce je v nekonečnu
  - čím blíže středu promítání tím menší objekt
  - užití: technická schémata
  - promítání na zakřivenou průmětnu - např.rybí oko (úsečky se projektují na křivky, potřeba projektovat všechny rastrované body)
  - obrázek: paralelní promítnutí do roviny XY (zanedbáme Z)

Konstruktivní geometrie - CSG

objekt je popsán stromem ze:
1. 3D primitiv (listy stromu)
2. transformací (zvětšení, otočení, atd… 3D primitiv)
3. booleovských operací (uzly stromu)
možnost vzniku singularit (regularizované operace)
pro každé nové operace probíhá regenerace stromu
možnost parametrizace operací ve stromu - parametrické modelování (CAD/CAM)
nejsou informace o povrchu ⇒ převod na polygonální model (B-rep)
oktalový strom
- rozdělení prostoru CSG modelu oktalovým stromem (octree) ⇒ CSG strom rozdělený (tzv. prořezaný) na podstromy
- urychlení regenerace stromu při lokálních operacích, urychlení zobrazování CSG modelu
strojní inženýrství, architektura

Šablonování

pohyb křivky, plochy nebo tělesa po zvolené trajektorii
může být součástí CSG operací (primitiva tvořená šablonováním)
využívá se invariance spline křivek a ploch vůči lineárním transformacím

pohyb po přímce (obrázek)
potahování s proměnlivou profilovou křivkou
posun po obecné křivce
rotační - NURBS křivky

Dekompoziční modely

diskrétní popis objektu dekompozicí na elementární objemové jednotky (krychle, hranoly) - voxely (Volumetric Pixel)
nese informace o hraniční struktuře x hraniční modely
geologie, medicína, strojírenství
uložení dat:
1. 3D pole diskrétních hodnot - rychlý přístup, ale paměťově náročné
2. oktalový strom - vhodné pro malou hustotu dat - rekurzivní dělení
3. subvoxely - kombinace dvou předchozích
vykreslení pomocí Marching cubes
- nalezení a polygonizace isoplochy procházející objemem

Hraniční reprezentace

B-rep (Boundary Representation)
objekt popsán prostřednictvím svého povrchu - hranice
objekty definovány pomocí vrcholů (body), hran (úsečky, křivky) a stěn (polygony, spline křivky)

drátový model
- popis pomocí vrcholů a hran ⇒ málo topologických informací ⇒ nejednoznačnost
- pro rychlé zobrazení
polygonální model
- objekt definován pomocí vrcholů, hran, stěn (trojúhelníky == polygony)
- jednoznačný popis objektu, malá přesnost (lineární aproximace povrchu)
- hw podpora zobrazení
okřídlená hrana
- 3 lineární seznamy - vrcholů, hran, stěn
- definuje sousední vrcholy, hrany ohraničující stěnu, sousední stěny
- zpracováním lze získat normály ve vrcholech
hraniční spline model
- jako polygonální ale místo polygonů jsou spline plochy
- pro zobrazení se často na polygonální převádí
- LOD - Level of Detail míra přesnosti podle vzdálenosti, eliminace vrcholů nebo hran

3D plochy

plocha je definována bázovou maticí (polynomy) a sítí řídících bodů (matice)

Bikubické plochy - interpolační, analogie Fergusonových křivek, matice 4×4 řídících bodů, spojitost plátů
Beziérové plochy - aproximační, analogie Beziérových křivek, matice 4×4 řídících bodů, spojitost plátů
NURBS plochy - aproximační, analogie NURBS křivek, matice 4×4 řídících bodů

Implicitní plochy

modelování pomocí kostry kolem které je potenciální pole - určuje povrch objektu
povrch objektu je v místě, kde je intenzita pole rovna nule

Zobrazování 3D projektů

drátový model - těžko se určuje viditelnost ⇒ nevíme, jak jsou myšleny stěny
viditelné plochy jsou přivrácené k pozorovateli, přivrácené části mají normálu směrem k pozorovateli
orientace normály vůči vektoru pohledu:
- skalární součin
- hodnota z normály po pohledové transformaci
viditelnost hran:
- hrana mezi viditelnými plochami je viditelná
- hrana mezi neviditelnými plochami je neviditelná
- hrana mezi viditelnou a neviditelnou plochou je obrysová
předzpracování scény:
- vyřazení odvrácených částí
- vyřazení zakrytých částí

Vizualizační metody

algoritmy viditelnosti:
1. vektorové - výsledkem je soubor viditelných a neviditelných hran
  - např. Robertsův algoritmus - dělení potenciálně viditelných hran na úseky kde se mění viditelnost
2. rastrové - rastrový výsledek - obraz viditelných ploch, stínováni, barva osvětlení
  - např. Malířův algoritmus - vykreslování nejprve vzdálených objektů, pak bližších
algoritmy viditelnosti (jiné dělení):
- objektové - pro každý objekt scény hledá viditelné části - složitost n²
- obrazové - pro každý pixel obrazu hledá viditelný objekt - složitost n*p
- komplexní - scéna je zpracovávána celá najednou. Měkké stíny. Komplexní řešení.

Robertsův algoritmus

klasický vektorový algoritmus
dělení potenciálně viditelných hran na úseky, kde se mění viditelnost
uděláme průsečíky s obrysovými hranami a testujeme viditelnost jejich úseků podle vzdálenosti průsečíků a zakrytí

Plovoucí horizont

vizualizace 3D funkcí v grafu
vykreslení řezů v rovině XZ a YZ od předu dozadu (ve směru pohledu)
vykreslení úseků řezu, které jsou mimo oblast horního a dolního horizontu

Malířův algoritmus

rastrový algoritmus
vykreslování objektů odzadu dopředu ⇒ seřazení podle vzdálenosti

Dělení obrazu - Warnock

rastrový objektový algoritmus
dělení okna na čtvrtiny, dokud není vyplněn jedním objektem
1. žádný objekt v okně ⇒ pozadí
2. jeden objekt v okně ⇒ vykreslit
3. více objektů v okně, ale nejbližší překrývá ostatní ⇒ vykreslit
4. jinak ⇒ dělit

Z-buffer

rastrový obrazový algoritmus
ukládá informace o hloubce objektu (Z souřadnice nejbližších bodů)
rychlý algoritmus, snadná implementace v HW
každá plocha je zpracovávána pouze jednou ⇒ fronta
využívá předzpracování scény
využívá color buffer

Ray tracing

sledování paprsků - z kamery se vypouštějí paprsky, sleduje se jejich pohyb, zlom a odraz
výpočetně hodně náročné - použití u statických scén, filmu ne u her, kdy je potřeba rychlost vykreslování
je nereálné sledovat všechny paprsky ⇒ Backtracking ⇒ zpětné sledování ⇒ procházíme rekurzivně postupně, jak se paprsek odráží

Ray casting

rastrový obrazový algoritmus řešení viditelnosti
Ray tracing prvního stupně
vrhání paprsků z místa pozorovatele, pozorují se jen primární paprsky, bez odrazů
urychlení oproti Ray tracingu (snížíme počet paprsků, urychlíme výpočet průsečíků, používáme svazky paprsků, rozdělíme na více částí)
použití: přímé zobrazování CSG modelů, vizualizace voxel modelů
nevýhody:
- ostré stíny
- bodové zdroje světla
- zrcadla (lesklé plochy) sice odrážejí okolí, ale neodráží světlo do okolí ⇒ nejsou sekundárními zdroji světla