Obsah

14c - Fourierova řada
Diskuze

14c - Fourierova řada

slouží k zápisu jakéhokoliv periodického průběhu pomocí goniometrických funkcí sinus a kosinus - zobrazuje jednu jeho periodu (může i více)
pomocí této řady lze rozložit i značně komplikované funkce, které by jinak byl problém zobrazit
suma komplexních exponenciál

Opakování komplexních čísel

Hlavní vzorec, na kterém je to založeno: j = sqrt{-1}

j = sqrt{-1}

komplexní čísla můžeme zapsat:
- pomocí složkového tvaru: z = a + jb
- pomocí vektoru: z = r cos φ + jr sin φ
  - a = r cos φ
  - b = r sin φ
  - $r = sqrt{a^2+b^2}$ - amplituda
  - $φ = tan^-1{(b/a)}$ - pozor na kvadranty!

pomocí exponenciálního tvaru: z = re^jφ nebo z = r exp jφ
- e^jφ = cos φ + j sin φ
- $cos φ = {e^{jφ} + e^{-jφ}}/2$
například cosinus tedy můžeme zobrazit pomocí komplexních čísel - komplexních exponenciál:

více zde

Komplexní exponenciála

základ byl vysvětlen na obrázku s cosinem
budeme se snažit libovolný periodický signál rozdělit do řady komplexních exponenciál ⇒ jsou v pohodě, protože se jimi dá vyjádřit libovolná cosinusovka
ještě přihazuji jeden obrázek, kde je naznačen výpočet, jak se dají vyjádřit jednotlivé komplexní exponenciály

výsledkem budou opět dvě komplexní exponenciály jako na prvním příkladu s cosinem ⇒ v závislosti na amplitudě, fázovém posunu a periodě se budou měnit (http://www.fit.vutbr.cz/study/courses/ISS/public/demos/expo/)

Konvoluce

průchod exponenciály LTI systémy dává opět tu samou exponenciálu, pouze násobenou nějakým komplexním číslem
pokud vynásobíme komplexní exponenciálu c₁e^jω₁t H(s):
1. vynásobíme moduly
2. sečteme argumenty

$c_{1}e^{jω_1t} = 2.5e^{−j{\pi/4}}e^{j100\pi t}$ … $H(s) = 2e^{j{\pi/4}}$

$c_2 = c_1 H(s) = 2.5e^{-j{\pi/4}} 2e^{j{\pi/4}} = 2.5 * 2e^{−j{\pi/4}+j{\pi/4}} = 5$

Fourierova řada

suma komplexních exponenciál (signál jsme tak rozložili, jako třeba cosinus)
rozkládáme periodický signál x(t) = x(t + T₁), kde T₁ je základní perioda ⇒ získáme tvar

$x(t) = \sum{k = -\infty}{\infty}{c_k e^{jk\omega_1 t}}$ , kde:

$\omega_1 = {{2\pi}/T}$

$e^{jk\omega_1 t}$ pro k=0,+/-1,+/-2,+/-3,… nazýváme harmonicky vztažené komplexní exponenciály

pro reálné signály x(t) budou koeficienty c_k a c_-k komplexně sdružené - c₀ je komplexně sdružený sám se sebou (je to stejnosměrná složka signálu)
pro reálné signály se tedy dá rovnice napsat i takto:

Rovnice Fourierovy řady

pro k > 0 platí, že:
- amplituda k-té harmonické složky: C_k = 2 | c_k |
- počáteční fáze harmonické složky je φ_k = arg c_k

Výpočet koeficientů Fourierovy řady

pro sepsání Fourierovy řady je nutné spočítat koeficienty c_k
⇒ na to existuje vzoreček

Rovnice pro výpočet koeficientů Fourierovy řady

toto je ale solidní masakr, nebo já ho pořádně nechápu, takže jsou k dispozici jiné metody, jak se k nim dopracovat

Cosinus

Mějme signál 5 cos(100πt).

Převedeme ho na komplexní tvar:

$x(t) = 5/2 e^{j100πt} + 5/2 e^{−j100πt}$

a_1 = 5/2e^0 , $a_{-1} = 5/2e^0$

Howto: 5/2 na abs, na uhel

Teď složitější příklad. Mějme signál 5 cos(100πt-π/4).

Zase stejnou metodou:

$x(t) = 2.5 e^{-j \pi/4} e^{j100πt} + 2.5 e^{j \pi/4} e^{−j100πt}$

$a_1 = 2.5 e^{-j \pi/4}$ , $a_{-1} = 2.5 e^{j \pi/4}$

Howto: 2.5 na abs, $\pi/4$ na uhel

hodnotám a polohám koeficientů FŘ se říká SPEKTRUM ⇒ v případě periodických signálů to bude spektrum čárové (jednotlivé koeficienty jsou čáry)

Složitější signály

k jejich výpočtu je třeba zavést pomůcky, které nám pomůžou vypočítat šílený integrál

Zavedení sinc

zavedeme speciální funkce, protože se spektra podobají této funkci

Šebestova pomůcka

použitím funkce sinc můžeme napsat vzorec pro odstranění integrálu

Počítání megapříkladu

Mějme tuto rovnici:

Šebestova pomůcka

Nejprve použijeme vzorec (šílený integrál) a na něj aplikujeme pomůcky:

Šebestova pomůcka

Poté zakreslíme spektrum:

Šebestova pomůcka

Posunutí v čase

Šebestova pomůcka

ISS, george, komplexni cislo, komplexni exponenciala, fourierova rada