14 - Spektrální analýza spojitých a diskrétních signálů

nebudou chtit zadne podrobnosti a nikdo jinej to asi zkouset nebude, prakticky pujde o to nejak zacit vysvetlit diskretni a spojity signal, vysvetlit co je to spektrum (signalu) a pote vysvetlit vsechny ty řady transformace pro oba signaly, hlavne co se do nich strka a co leze ven

od Černocký & kolektiv z fitušky

Úvod

Základní rozdělení

rozdělení

čas
- se spojitým časem ()
- s diskrétním časem ()
paměť
- s pamětí ()
- bez paměti (, pouze aktuální čas)
čas v budoucnosti
- kauzální ()
- nekauzální ()
stabilita
- stabilní ( $x(t) < B \doubleright y(t) < C$ )
- nestabilní (opak)
časová invariance
- invariantní (provedeme měření teď a za hodiny za stejných podmínek, dostaneme stejné výsledky)
- variantní
linearita
- lineární ( $ax_1(t) + bx_2(t) \right ay_1(t) + by_2(t)$ )
  - homogenita ( $ax(t) \right ay(t)$ )
  - aditivita ( $x_1(t) + x_2(t) \right y_1(t) + y_2(t)$ )
- nelineární

Zavedení

Spojité signály: x(t)

Diskrétní signály: x[n]

Energie (E)

$\int{t_1}{t_2}{|x(t)|^2dt}$ , $\lim{T \right \infty}{\int{T}{-T}{|x(t)|^2dt}}$

$\sum{n = n_1}{n_2}{|x[n]|^2}$ , $\lim{N \right \infty}{\sum{n = N}{-N}{|x[n]|^2}}$

Výkon (P)

$\lim{T \right \infty}{1/{2T}\int{T}{-T}{|x(t)|^2dt}}$

$\lim{N \right \infty}{1/{2N + 1}\sum{n = N}{-N}{|x[n]|^2}}$

Transformace souřadnic

$x(t) \right x(-t)$ - otočení grafu x(t) kolem osy y
$x(t) \right -x(t)$ - otočení grafu x(t) kolem osy x
$x(t) \right x(at)$ - : roztáhnutí grafu x(t), : zkrácení grafu x(t)
$x(t) \right x(t + a), a > 0$ - posun grafu x(t) doleva (přičtením a zvětšíme t, hodnotami se dostaneme doprava)
$x(t) \right x(t - a), a > 0$ - posun grafu x(t) doprava (přičtením a zmenšíme t, hodnotami se dostaneme doleva)
$x(t) \right x(-t + a) =$ - posun grafu x(t) o a doprava a otoceni kolem osy y, a nebo otoceni kolem osy y a posun doleva

analogicky pro diskrétní signály

Periodické signály

x(t) = x(t + T)

x[n] = x[n + N]

sudý/lichý signál

x(t) = x(-t) / x(-t) = -x(t)

Jednotkový impuls

$\delta[n] = n \ne 0 \right 0, n = 0 \right 1$

$\delta(t) = {du(t)}/{dt}$

Jednotkový skok

$u[n] = n < 0 \right 0, n >= 0 \right 1$

$u[n] = \sum{m = -\infty}{n}{\delta[m]}$

$u(t) = t < 0 \right 0, t > 0 \right 1$

$u(t) = \int{-\infty}{t}{\delta(\tau)d\tau}$

Periodické signály

LTI (linear time-invariant) systémy

diskrétní signál x[n] lze zapsat pomocé jednotkového impulsu jako:

$... + x[-1]\delta[n + 1] + x[0]\delta[n] + x[1]\delta[n - 1] + ...$

$x[n] = \sum{k = -\infty}{\infty}{x[k]\delta[n - k]}$

reakce systému na jednotkový impuls je fce h[n], potom dostáváme:

$x[n] = \sum{k = -\infty}{\infty}{x[k]h[n - k]}$

tuto fci nazýváme konvoluce signálů x[n] a h[n] a značíme:

x[n] * $h[n] = \sum{k = -\infty}{\infty}{x[k]h[n - k]}$

analogicky pro x(t):

x(t) * $h(t) = \int{-\infty}{\infty}{x(\tau)h(t - \tau)d\tau}$

vlastnosti konvoluce:

vlastnost	vzorec
komutativita	a(t)b(t) = a(t)b(t)
asociativita	(a(t)b(t))c(t) = a(t)(b(t)c(t))
distribuce	a(t)[b(t) + c(t)] = a(t)b(t) + a(t)*c(t)

kauzalita, stabilita

Komplexní exponenciála

Komplexní exponenciálou nazýváme fci

$x(t) = e^{j\omega_0 t}$

$x[n] = z^n, z = e^{j\omega_0}$

Zajímavost u diskrétní komplexní exponenciály:

$e^{j(\omega_0 + 2\pi)n} = e^{j\omega_0}e^{j2\pi n} = e^{j\omega_0}.1 = e^{j\omega_0}$

$e^{j2\pi n} = cos(2\pi n) + i sin(2\pi n) = 1 + i0 = 1$

Odezva LTI systému na komplexní exponenciálu

$x(t) = e^{st}$ , kde $s = j\omega$

h(t) … impulsní odezva systému

výstup je potom roven

$y(t) = \int{-\infty}{\infty}{h(\tau)x(t - \tau)}$

$\int{-\infty}{\infty}{h(\tau)x(t - \tau)} = \int{-\infty}{\infty}{h(\tau)e^{s(t - \tau)}} = \int{-\infty}{\infty}{h(\tau)e^st e^{-s\tau}} = e^st\int{-\infty}{\infty}{h(\tau)e^{-s\tau}}$

nahraďme integrál fcí H(s)

$H(s) = \int{-\infty}{\infty}{h(\tau)e^{-s\tau}}$

potom dostaneme

y(t) = e^st H(s)

H(s) nazýváme eigenfunction (vlastní fce), dosazením konkrétního dostaneme eigenvalue (vlastní hodnotu)

analogicky pro diskrétní signál:

x[t] = z^n , kde z = e^s

$y[n] = \sum{k = -\infty}{\infty}{z^{n - k}h[k]} = z^n \sum{k = -\infty}{\infty}{z^{-k}h[k]}$

$H(z) = \sum{k = -\infty}{\infty}{z^{-k}h[k]}$

y[n] = z^n H(z)

Vidíme, že výstupem systému na komplexní exponenciálu je opět komplexní exponenciála vynásobení komplexním číslem (změní se fáze a amplituda).

Fourierova řada

Motivace

Z reakce LTI systému vidíme, že pokud je vstupem komplexní exponenciála, je výpočet výstupu jednoduchý. Proč?

Pokud bude fce dána součtem exponenciál, výstup se bude počítat jednoduše, jak na to?

Chceme fci x(t) zapsat jako

$x(t) = \sum{k = -\infty}{\infty}{a_k e^{jk\omega_0 t}}$

Př.

$sin(2t) + cos(3t) = {e^{j2t} - e^{-j2t}}/{2j} + {e^{j3t} + e^{-j3t}}/2 = -j/2 e^{j2t} + j/2 e^{-j2t} + 1/2 e^{j3t} + 1/2 e^{-j3t}$

$a_2 = -j/2, a_{-2} = j/2, a_3 = 1/2, a_{-3} = 1/2$

Jak určit koeficienty obecným vzorcem?

$x(t)e^{-jn\omega_0t} = \sum{k = -\infty}{\infty}{a_k e^{jk\omega_0 t} e^{-jn\omega_0t}}$

$\int{0}{T}{x(t)e^{-jn\omega_0t}dt} = \int{0}{T}{\sum{k = -\infty}{\infty}{a_k e^{jk\omega_0t} e^{-jn\omega_0t dt}}}$

$\int{0}{T}{x(t)e^{-jn\omega_0t}dt} = \sum{k = -\infty}{\infty}{a_k [ \int{0}{T}{e^{jk\omega_0t} e^{-jn\omega_0t dt}} ]}$

$\int{0}{T}{x(t)e^{-jn\omega_0t}dt} = \sum{k = -\infty}{\infty}{a_k [ \int{0}{T}{e^{j(k - n)\omega_0t} dt} ]}$

pro k != n :

$\int{0}{T}{e^{j(k - n)\omega_0t} dt} = \int{0}{T}{(cos((k - n)\omega_0t) +jsin(j(k - n)\omega_0t)) dt} = 0$ , energie za jednu perioda je rovna 0

pro k = n :

$\int{0}{T}{e^{j(k - n)\omega_0t} dt} = \int{0}{T}{e^{0} dt} = \int{0}{T}{dt} = [t]^T_0 = T - 0 = T$

takže

$\int{0}{T}{x(t)e^{-jn\omega_0t}dt} = a_n T$

$a_n = 1/T \int{0}{T}{x(t)e^{-jn\omega_0t}dt}$

definice (spojitý signál)

Signál x(t) lze vyjářit jako

$x(t) = \sum{k = -\infty}{\infty}{a_k e^{jk\omega_0 t}} = \sum{k = -\infty}{\infty}{a_k e^{jk({2\pi}/T) t}}$

kde

$a_k = 1/T \int{0}{T}{x(t)e^{-jk\omega_0t}dt} = 1/T \int{0}{T}{x(t)e^{-jk({2\pi}/T)t}dt}$

pro $k \in Z$ , základní perioda, $\omega_0$ základní úhlová rychlost/frekvence

a zároveň platí:

1. $\int{T}{}{|x(t)|dt} < \infty$ … fce musí být na T absolutně integrovatelná, tj. plocha pod křivkou musí být různá od nekonečna
2. na libovolném intervalu I musí být konečný počet maxim a minim
3. na libovolném intervalu I musí být konečný počet nespojitostí, každá nespojitosti musí být konečná

definice (diskrétní signál), také DFŘ (diskrétní FŘ)

$x[n] = \sum{k = <N>}{}{a_k e^{jk\omega_0 n}} = \sum{k = <N>}{}{a_k e^{jk(2\pi/N)n}}$

$a_k = 1/N \sum{n = <N>}{}{x[n]e^{-jk\omega_0 n}} = 1/N \sum{n = <N>}{}{x[n]e^{-jk(2\pi/N) n}}$

Ke vzorcům se vrátíme později, až si řekneme o diskrétních posloupnostech

základní perioda, $\omega_0$ základní úhlový rychlost/frekvence

Z vlastnosti komplexní exponenciály plyne, že diskrétní signál reprezentovaný Fourierovou řadou má konečný počet členů.

Platí $a_k = a_{k + N}$

vlastnosti Fourierovy řady

http://www.ee.bgu.ac.il/~intr2/furie%20transform.pdf

Normované frekvence/periody (diskrétní signál)

diskrétní signál vznikne navzorkováním spojitého:

$x(nT) = cos(\omega_1 n T + \phi_1)... \right x[n] = cos(\omega_1\prime n + \phi_1)...$

$\omega_1\prime$ … normovaná kruhová frekvence

$\omega_1\prime = \omega_1 T$

a z toho:

$\omega_1\prime = \omega_1/{F_s}$ … normovaná frekvence

zobrazení koeficientů FŘ (spektrum koeficientů FŘ)

příklad

$x(t) = 5/2 e^{j100πt} + 5/2 e^{−j100πt}$

a_1 = 5/2e^0 , $a_{-1} = 5/2e^0$

Howto: 5/2 na abs, na uhel

příklad

$x(t) = 2.5 e^{-j \pi/4} e^{j100πt} + 2.5 e^{j \pi/4} e^{−j100πt}$

$a_1 = 2.5 e^{-j \pi/4}$ , $a_{-1} = 2.5 e^{j \pi/4}$

Howto: 2.5 na abs, $\pi/4$ na uhel

příklad

Řešení:

$a_k = 1/T \int{0}{T}{x(t)e^{-jk\omega_0t}dt} = 1/T \int{-T_1}{T_1}{1.e^{-jk\omega_0t}dt}$

pro k = 0 :

$a_0 = 1/T \int{-T_1}{T_1}{1dt} = [t]^{T_1}_{-T_1} = 1/T(T_1 + T_1) = {2T_1}/{T}$

pro k != 0 :

$1/T \int{-T_1}{T_1}{1.e^{-jk\omega_0t}dt} = 1/T [{e^{-jk\omega_0t}}/{-jk\omega_0}]^{T_1}_{-T_1} = 1/T 1/{-jk\omega_0} (e^{-jk\omega_0T_1} - e^{jk\omega_0T_1}) = 1/T 1/{jk\omega_0} (e^{jk\omega_0T_1} - e^{-jk\omega_0T_1}) =$ $1/T 1/{jk\omega_0} 2/2 (e^{jk\omega_0T_1} - e^{-jk\omega_0T_1}) = 2/T 1/{k\omega_0} {(e^{jk\omega_0T_1} - e^{-jk\omega_0T_1})}/{2j} = 2/T 1/{k\omega_0} sin(jk\omega_0T_1) =$ ${2T_1}/T 1/{k\omega_0T_1} sin(k\omega_0T_1) = {2T_1}/T sinc(k\omega_0T_1)$

${2\pi}/T = \omega_0 \doubleright 2/T = {\omega_0}/{\pi}$

${2T_1}/T sinc(k\omega_0T_1) \doubleright {\omega_0 T_1}/{\pi} sinc(k\omega_0T_1)$

sinc … kardinální sinus

Postupné zvětšování počtu členů FŘ:

Postupné skládání obdélníka s diskrétních signálů

operace s diskrétními signály

Vykousnutí posloupnosti délky N

Mějme okénkovou funkci:

$R_N[n] = \matrix{2}{1}{{1 pro n \in [0, N - 1]} {0 jinde}}$

y[n] = R_n[n]x[n]

Periodizace posloupnost délky N

$x over{_}[n] = x[n mod N_n]$

Periodické posunutí posloupnost délky N

Kruhové posunutí posunutí posloupnost délky N

Konvoluce

Lineární konvoluce (pro posloupnost délky N)

* $y[n] = \sum{k = 0}{N - 1}{x[k]y[n - k]}$

dostaneme posloupnost délky 2N - 1

periodická konvoluce (pro posloupnost délky N)

kruhová konvoluce (pro posloupnost délky N)

Neperiodické signály

Přechod od periodických k neperiodickým

Motivace

Neperiodický signál si můžeme představit jako periodický signál, jehož perioda se blíží nekonečnu. Ukážeme na příkladu obdélníkové impulsu.

Označme x(t) periodický signál, x_n(t) neperiodický signál,

potom platí:

$x(t) = \sum{k = -\infty}{\infty}{a_k e^{jk\omega_0t}}$ ,

$a_k = 1/T \int{-T/2}{T/2}{x(t)e^{-jk\omega_0t}dt}$ .

Přesuňme se teď z periodického na neperiodický signál, změní se nám rovnice, x(t) přejde na x_n(t)

x_n(t) je mimo -T/2, T/2 rovna 0, proto můžeme přepsat meze integrálu:

$1/T \int{-T/2}{T/2}{x_n(t)e^{-jk\omega_0t}dt} \doubleright 1/T \int{-\infty}{\infty}{x_n(t)e^{-jk\omega_0t}dt}$ ,

spektrum už známe:

$X(j\omega) = \int{-\infty}{\infty}{x_n(t)e^{-j\omegat}dt}$ ,

potom můžeme psát:

$a_k = 1/T X(jk\omega_0)$ .

Vložením do FŘ dostaneme:

$x_n(t) = \sum{-\infty}{\infty}{1/T X(jk\omega_0) e^{jk\omega_0t}}$ ,

protože $\omega = {2\pi}\{T}$ , přepíšeme rovnici na:

$x_n(t) = \sum{-\infty}{\infty}{1/{2\pi} X(jk\omega_0) e^{jk\omega_0t}} \omega_0$ .

Jelikož $T \right \infty$ , $\omega_0 \right 0$ , vzorec potom přechází na tvar:

$x_n(t) = 1/{2\pi} \int{-\infty}{\infty}{ X(jk\omega_0) e^{j\omega t}} d\omega$ .

formule

Pro neperiodický signál platí:

$x_n(t) = 1/{2\pi} \int{-\infty}{\infty}{ X(jk\omega_0) e^{j\omega t}} d\omega$ … zpětná Fourierova transformace

$X(j\omega) = \int{-\infty}{\infty}{x_n(t)e^{-j\omega t}dt}$ … Fourierova transformace

Fourierova transformace je speciální případ Laplacovi transformace, kde $s = j\omega$ (pouze imaginární osa)

Příklad

$x(t) = e^{-at}u(t), a > 0$

$X(j\omega) = \int{0}{\infty}{e^{-at}e^{-j\omega t}dt} = -1/{a + j\omega} e^{-(a + j\omega)t}|^{\infty}_{0}$

$X(j\omega) = 1/{a + j\omega}, a > 0$

$|X(j\omega)| = |1/{a + j\omega}| = {|1|}/{|a + j\omega|} = 1/{a^2 + \omega^2}$ , $\varphi X(j\omega) = -tan^{-1}(\omega/a)$

Příklad

$x(t) = e^{-a|t|}, a > 0$

$X(j\omega) = \int{-\infty}{\infty}{e^{-a|t|}e^{-j\omega t}dt} = \int{-\infty}{0}{e^{at}e^{-j\omega t}dt} + \int{0}{\infty}{e^{-at}e^{-j\omega t}dt} = 1/{a - j\omega} + 1/{a + j\omega} = {2a}/{a^2 + \omega^2}$

$X(j\omega) = {2a}/{a^2 + \omega^2}, a > 0$

$|X(j\omega)| = |{2a}/{a^2 + \omega^2}| = {2a}/{a^2 + \omega^2}$

DTFT - Descrete Time Fourier Transform (Fourierova transformace v diskrétním čase)

DTFT navýváme vztah:

Spektrum diskrétního signálu je periodické (vlivem vzorkování)

Zpětná Fourierova transformace:

Spektra důležitých signálů

Jednotkový impuls

v počátku

$X(j\omega) = \int{-\infty}{\infty}{\delta(t)e^{-j\omega t}dt} = 1$

posunutý o $\tau$

$X(j\omega) = \int{-\infty}{\infty}{\delta(t - \tau)e^{-j\omega t}dt} = e^{-j\omega\tau}$

Stejnoměrný signál

$X(j\omega) = 2\pi A\delta(\omega)$

$x(t) = 1/{2\pi} 2\pi A \int{-\infty}{\infty}{\delta(\omega) e^{j\omega t} \d\omega} = A$

jednotkový impuls z pohledu spektra, periodický signál

$X(j\omega) = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$

$x(t) = 1/{2pi} \int{-\infty}{\infty}{ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) e^{j\omega t} d\omega} = |{r = \omega - \omega_0}/{dr = d\omega}| = \int{-\infty}{\infty}{ \delta(r) e^{j(r + \omega_0)t} dr} = e^{j\omega_0 t} \int{-\infty}{\infty}{ \delta(r) e^{jrt} dr} = e^{j\omega_0 t}.1 = e^{j\omega_0 t}$

tj. signálem v časové oblasti je exponenciála, spektrum periodického signálu potom můžeme zapsat tedy:

$X(j\omega) = \sum{k = -\infty}{\infty}{2\pi c_k \delta(\omega - k\omega_0)}$

obdélníkový impuls

$X(j\omega) = {2T_1}/T sinc(k\omega_0T_1)$

zpětný obraz obdélníkového spektra

$x(t) = {H\omega_c}/{\pi} sinc(\omega_c t)$

Práce s LTI systémy

konvoluce/násobení

vzorec, který musíme znát i ve spánku

x_1(t) * $x_2(t) \doubleright over{FT} X_1(\omega)X_2(\omega)$

Slovně: konvoluce signálů v časové oblasti odpovídá součinu spekter těchto signálů ve frekvenční oblasti

$x_1(t)x_2(t) \doubleright over{FT} X_1(\omega)$ * $X_2(\omega)$

Slovně: součinu signálů v časové oblasti odpovídá konvoluce spekter těchto signálů ve frekvenční oblasti

výstup ze systému

v časové oblasti (time domain):

$y(t) = \int{-\infty}{\infty}{x(\tau)h(t - \tau)d\tau}$

ve frekvenční oblasti (frequence domain):

$Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega)$

$H(j\omega)$ … přenosová funkce

Příklad

Hi-fi zesilovač zesiluje od 0 do 20 kHz, potom skoro vůbec:

$|H(j\omega)| = \matrix{2}{1}{{100 pro 0 \le |\omega| \le 40000\pi } {1 pro |\omega| > 40000\pi}}$

$arg H(j\omega) = -{\omega}/{100000}$

Jaký bude výstup, pokud máme na vstupu:

1). $x_1(t) = \cos(2000\pi t), \omega_1 = 2000\pi$

2). $x_2(t) = \cos(60000\pi t), \omega_2 = 60000\pi$

abychom mohli použít vzorec $Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega)$ , potřehujeme převést x_1(t), x_2(t) na $X_1(j\omega), X_2(j\omega)$

$x_1(t) = \cos(2000\pi t) = {e^{j2000\pi t} + e^{-j2000\pi t}}/2$

$X_1(j\omega) = 2\pi 1/2 \delta(\omega - 2000\pi) + 2\pi 1/2 \delta(\omega + 2000\pi)$

$Y_1(j\omega) = (2\pi 1/2 \delta(\omega - 2000\pi) + 2\pi 1/2 \delta(\omega + 2000\pi)) H(j\omega) =$ $(2\pi 1/2 H(j\omega) \delta(\omega - 2000\pi) + 2\pi 1/2 H(j\omega) \delta(\omega + 2000\pi)) =$ $(2\pi 1/2 H(j2000\pi) \delta(\omega - 2000\pi) + 2\pi 1/2 H(-j2000\pi) \delta(\omega + 2000\pi)) =$ $(2\pi 1/2 100e^{-j0.02\pi} \delta(\omega - 2000\pi) + 2\pi 1/2 100e^{+j0.02\pi} \delta(\omega + 2000\pi))$

$y_1(t) = {100}/2 e^{-j0.02\pi} e^{j2000\pi t} + {100}/2 e^{+j0.02\pi} e^{-j2000\pi t} = {100}/2 e^{j2000\pi t - j0.02\pi} + {100}/2 e^{-j2000\pi t + j0.02\pi} =$ $100 {e^{j2000\pi t - j0.02\pi} + e^{-j2000\pi t + j0.02\pi}}/2 = 100 cos(j2000\pi t - j0.02\pi)$