14a - Signál

Obecné informace

funkce, která převádí nezávislou proměnnou z množiny T (signálová osa) na hodnoty z množiny A

podle charakteru T dělíme signály na:
1. signály se spojitým časem - s(t)
2. signály s diskrétním časem - s[n] - posloupnosti
za množinu A jsme v ISS pokládali množinu reálných čísel R … může být ale i množina komplexních čísel C
deterministický signál
- můžeme zapsat vztahem, rovnicí, nerovností
- pro každý čas t nebo n víme, jaký signál bude
- např. obdélníkový nebo jednotkový impuls
- opakem jsou náhodné signály, které můžeme charakterizovat pomocí vlastností (např. střední hodnota, rozptyl)
periodický signál
- v čase se opakuje ⇒ můžeme najít takové T, že s(t + T) = s(t) … případně N, aby s[n + N ] = s(n)
- opakem jsou neperiodické signály
- nejjednodušší periodické signály jsou harmonické signály

Základní transformace signálu

Otočení časové osy

s(−t)

Posunutí časové osy

zpoždění signálu - s(t − τ)
předběhnutí signálu - s(t + τ)
(platí pro kladné τ)

Posunutí a otočení časové osy

zpoždění + otočení - s(−t + τ)
předběhnutí + otočení - s(−t − τ)
(platí pro kladné τ)

Změna časového měřítka

kontrakce času - s(mt) pro kladné m > 1 - čas běží rychleji a všechno je kratší
dilatace času - s(t/m) pro kladné m > 1 - čas běží pomaleji a všechno je delší

Základní výpočty se signálem

tahle kapitola je zapamatování pár vzorečků, ale jsou celkem jednoduchý, stačí si pamatovat texty, co jsem k nim napsal

Okamžitý výkon

dáme signál na druhou
značí se p v čase

spojitý: p(t) = |s(t)|²
diskrétní: p[n] = |s[t]|²

je tam třeba absolutní hodnota, protože výkon může být jenom kladný

Energie

zajímá nás plocha určitého úseku od t₁ do t₂ minulé funkce p
⇒ takže uděláme určitý integrál integrál

$E = \int{t_1}{t_2}{| x(t) |^2 dt}$

pro diskrétní signál uděláme to stejné, akorát se sumou

Když chceme vzorec pro spojitý signál použít i pro na diskrétní, místo integrálů napíšeme sumy

Průměrný výkon signálu

opět ho počítáme na nějakém intervalu - tedy od t₁ do t₂
musíme si prvně spočítat, jaká je energie signálu na tomto intervalu a pak ji podělíme délkou tohoto intervalu a získáme tím průměr

$P_t = E/(t_2 - t_1) = 1/(t_2 - t_1) \int{t_1}{t_2}{| x(t) |^2 dt}$

pro diskrétní signál zase se sumou

Celková energie

je to energie, akorát nás zajímá v celém rozmezí časů od −∞ do ∞
když se pracuje s nekonečnama, tak se dá počítat jenom přes limity, takže před náš integrál přidáme limitu

$E_{\infty} = \lim{T \right \infty}\int{T}{-T}{| x(t) |^2 dt}$

pro diskrétní signál zase sumy
podle hodnoty E_∞ dělíme signály na signály:
1. s konečnou energií
2. s nekonečnou energií

Celkový střední výkon

úplně stejně jako s celkovou - počítá se od −∞ do ∞

$P_{\infty} = \lim{T \right \infty}{1/{2T}} \int{T}{-T}{| x(t) |^2 dt}$

místo rozdílu t₂ - t₁ lze napsat 2T, protože pracujeme s nekonečnama ⇒ od nuly na obě dvě strany stejná vzdálenost
diskrétní signál opět suma a ještě pozor - místo 2T se píše 2N + 1 ⇒ N vzorků na obě dvě strany od nuly + nula

Harmonické signály

základní periodický signál

s(t) = C₁ cos(ω₁ t + φ₁) případně s[n] = C₁ cos(ω₁ n + φ₁)

C1 - amplituda
ω1 - kmitočet
1. spojité: [rad/s] = 2πf₁ = 2π/T₁
2. diskrétní: [rad] ⇒ musíme najít takové N, aby platila podmínka periodicity: cos [ω₁ (n + N₁)] = cos ω₁ n
φ1 - počáteční fáze [rad]

citace ze slajdů: Ve zpracování signálů pracujeme vždy s radiány! Nezapomeňte si přepnout kalkulačky!

Příklad: Je dán harmoniký signál s diskrétním časem: s[n] = cos(((3π)/16)n).

určete základní periodu:
- 3/16 N₁π = 2kπ ⇒ N₁ = 32, k = 3 ⇒ musí to být celá čísla
- k určuje kolik kmitů je v jedné periodě
- N₁ určuje, kolik vzorků je v jedné periodě

Výkon periodických signálů

je stejný jako normální výkon
díky tomu, že je signál periodický, lze integrovat pouze jednu periodu ⇒ tím se zbavíme nekonečna a tedy i limity

$P_s = 1/T_1 \int{T_1/2}{T_2/2}{| x(t) |^2 dt}$

někdy se počítá efektivní hodnota - velikost stejnosměrného signálu, který by dal při stejné zátěži stejný střední výkon

$C_{ef} = sqrt{P_s}$

Výkon harmonických signálů

za x(t) se dosadí signál s(t) = C₁ cos(ω₁ t + φ₁), díky čemuž se to pak může šikovně pokrátit (netřeba psát) a získat z toho

$P_s C^2_1 / sqrt{2}$
$C_{ef} = sqrt{P_s}$

Známé signály

Jednotkový impulz

Diracův impulz

Jednotkový skok

george, ISS, signal

Obsah