Definice
Soubor objektů, chápaný jako celek. Objekty se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina.
Prázdná množina …
X Y = { x | x X x Y}
X - Y = { x | x X x Y}
X xor Y = { x | (X - Y) (Y - X)}
platí:
Definice
(a, b) … uspořádaná relace, uspořádaná dvojice
(a ,b) = {{a}, {a,b}}
Definice
Jsou-li X,Y množiny, pak kartézským součinem množin X,Y rozumíme množin
X x Y = {(x,y) | x X, y Y}
Definice
Binární relací z X do Y pak rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu, tj.
(a, b) X x Y
Definice
Buď R X x Y, potom
Dom R = {x | y Y: (x,y) R} … definiční obor
Im R = {y | x X: (x,y) R} … obor hodnot
Definice
Buď f X x Y relace z X do Y: x Dom f X y Y: (x, y) f
(x, y) f, y = f(x), f: X Y
Jednoznačnost zobrazení je důležitá a znamená, že každý prvek vzoru se zobrazí na právě jeden prvek v obrazu.
zobrazeni nazýváme:
se zobrazenim souvisy vyrazy „vzor“ a „obraz“
množina všech vzorů je definičním oborem, množina všech obrazů je oborem hodnot
Definice
Nechť R X x Y, potom inverzní relaci značíme a platí Y x X. Je li inverzní relace zobrazením, potom mluvíme o inverzním zobrazení
Definice
Nechť máme relace S,R, potom SR navýváme složenou relací, čteme S po R, analogicky pro fce
Definice
Nechť R X x X,
ekvivalence … platí a,b,d
částečné uspořádání … a,c,d
tolerance … a,b
kvaziuspořádání … a,d
Definice
Nechť X množina a S soubor podmnožin množiny X. Jestli je S = X a množiny z S po dvou disjuktní, zavýváme S rozkladem na množině X.
Nechť R relace definovaná na X a platí že S je rozklad, potom je R ekvivalence
Definice
[a] = {x | x X, xRa}, potom S = {[a] | a X} je rozklad na X
Ukazka
Mějme množinu celých čísel Z, sestrojme zbytkové třídy po dělení 4 (modulo 4).
Dělením čísla dostaneme tyto zbytky:
Čísla 1, 5, 9, 14, …, 5 + k.4 dávají zbytek po dělení 4 číslo 1, dostáváme tedy třídu
Analogicky pro 2, 6, 10, … dostaneme
Celkově dostaneme třídu zbytků [0], [1], [2], [3].
Pro operace se zbytky potom plati nasledujici:
[0] + [2] = [1]
[2] + [1] = [3]
[3] + [3] = [2]
[0] * [2] = [0]
[2] * [3] = [2]
pokud odstraníme závorky, dostaneme zajímavé výsledky, pokud se neuvědomíme, že se jedná o operace se zbytkovými třídami:
0 + 1 = 1
2 + 1 = 3
3 + 3 = 2
0 * 2 = 0
2 * 3 = 2
Relace na mnozine
16 | ||
---|---|---|
Celé jméno | OK | !!! |
Jirka Hynek | ||
1 |