Obsah

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Funkce více proměnných

Definice

Reálnou funkce f více reálních proměnných rozumíme zobrazení $R^n \right R$ . Nechť $X \in R^n$ , potom zapisujeme y = f(X)

, kde

K funkci lze přířadit graf: $G(f) = \lbrace[X, y]: X \in D_f \subset R^n, y = f(X)\rbrace$

Př. Máme fci z = x^2 + y^2 , určete graf. Řešení: Provedeme několik řezů rovinou xy.

Analogicky reálné fce jedné reálné proměnné se zavádí operace s funkcemi, maximum, minimum, restrikce fce, …

Definice

Nechť je dána funkce $f : A \subset R, A \right R^m$ a m funkcí n proměnných $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_m$ , které jsou definované na množine $M \subset Rn$ tak, že platí:

$[\varphi_1(t_1, t_2, ..., t_n), \varphi_2(t_1, t_2, ..., t_n), ..., \varphi_m(t_1, t_2, ..., t_n)] \subset A$ pro $[t_1, t_2, ..., t_n] \in M$ .

Potom funkci

$F(t_1, t_2, ..., t_n) = f(\varphi_1(t_1, t_2, ..., t_n), \varphi_2(t_1, t_2, ..., t_n), ..., \varphi_m(t_1, t_2, ..., t_n))$ ,

která je definovaná na množine , nazýváme složenou funkcí. Funkci f nazýváme vnější složkou a funkce $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_m$ vnitřními složkami.

Limita, spojitost

Definice

Vzdálenost dvou bodů X = [x_1, x_2, ..., x_n]

, $X, Y \in R^n$ je číslo d(X, Y)

definované předpisem:

$d(X, Y) = \sqrt{(x_1 − y_1)^2 + (x_2 − y_2)^2 + ... + (x_n − y_n)^2}$ .

Jiné definice vzdálenosti, např. Manhattan

Definice

Buď $A \subset R^n$ . Množina

$U_{\delta}(A) = \lbrace X \subset R^n : d(A,X) < \delta\rbrace$

se nazývá okolí bodu , množina

$U_{\delta}^*(A) = U_{\delta}(A) - \lbrace A\rbrace$

se nazývá redukované okolí bodu A. Číslo $\delta$ se nazývá poloměr okolí.

Definice

Řekneme, že funkce $f: M \right R, M \subset R^n$ má v bodě A limitu b, když

A je hromadným bodem množiny M,
k libovolnému okolí U(b) limity b existuje okolí U(A) bodu A tak, že funkce f zobrazí redukované okolí do , tedy $\forall U(b) \exists U(A): f(U^*(A)) \right U(b)$ .

Potom píšeme $\lim{X \right A}{f(X) = b}$ .

Řekneme, že funkce $f: M \right R, M \subset R^n$ je v bodě A spojitá, jestliže

$\lim{X \right A}{f(X) = f(A)}$ .

Řekneme, že funkce $f: M \right R, M \subset R^n$ je spojitá na množině M, je-li spojitá v každém bode této množiny.

Věta

Součet, rozdíl, součin, podíl dvou limita je rovna limitě součtu, rozdílu, součinu, podílu

Věta

Nechť fce g má limitu v bodě X, fce f v bodě g(X)

, potom i složená fce f(g(X))

má limitu v bodě X

Věta

Nechť máme fce a,b,c, pro každé $X \subset R^n$ platí a(X) <= b(X) <= c(X)

a $lim{}{a(X)} = lim{}{c(X)} = \lambda$ , potom i fce b má limitu a to rovno $\lambda$

Derivace

Parciální derivace

Definice

Nechť je funkce f(x, y) definována v jistém okolí bodu $X_0 = (x_0, y_0) \in R^2$ . Zvolme y = y_0

a uvažujme funkci f_1(x) = f(x, y_0)

jedné proměnné x, která je definovaná v jistém okolí bodu $x_0 \in R$ . Existuje-li vlastní derivace $f_1^\prime (x_0)$ funkce f_1

v bode

, tedy existuje-li konečná limita

$\lim{h \right 0}{(f_1(x_0 + h) − f(x_0))/h} = \lim{h \right 0}{(f(x_0 + h, y_0) − f(x_0, y_0))/h} = \lim{h \right 0}{(f(X_0 + h\vec{i}) − f(X_0))/h}$

nazýváme ji parciální derivací prvního řádu funkce f v bode X_0 podle proměnné x. Obvyklá oznacení: $f^\prime_x (X_0)$ , ${\partial{f}}/{\partial{x}} (X_0)$ .

analogicky podle zbylích proměnných

Definice

Fce je hladká, jestliže má v každém bodě všechny parciální derivace

Definice

Existuje-li konecná limita

$\lim{h \right 0}{(f(X_0 + h \vec{u}) − f(X_0))/h} = f^\prime_u (X_0)$ ,

nazýváme ji derivací funkce f v bode X_0 podle vektoru u. Je-li vektor u jednotkový, hovoříme o směrové derivaci.

Definice

Vektor

$\vec{grad f}(X_0) = (f^\prime_{x_1}(X_0), ..., f^\prime_{x_n}(X_0))$

se nazývá gradient funkce f v bode X_0 .

Definice

Nechť funkce f je hladká na oblasti A, bod $X_0 \in A$ a h je vektor. Potom zobrazení

$df(X_0, \vec{h}) = \vec{grad f}(X_0) · \vec{h} = f^\prime_h(X_0)$

nazýváme diferenciálem funkce f v bode X0. Místo $df(X_0, \vec{h})$ nekdy píšeme jen df(X_0) .

Derivace a diferenciály vyšších rádu, Taylorova veta

Definice

Nechť funkce $f: A \right R, A \subset R^n$ má v nejakém okolí bodu $X_0 \in A$ parciální derivaci podle i-té promenné $f^\prime_{x_i}$ . Existuje-li derivace funkce $f^\prime_{x_i}$ podle j-té promenné v bode X_0

, nazýváme ji parciální derivací druhého rádu funkce f v bode X_0

podle i-té a j-té promenné (v tomto poradí) a znacíme ji $f^{\prime\prime}_{x_i x_j}$ nebo ${\partial f}/{\partial x_i \partial x_j}(X_0)$ ; je-li i = j

, píšeme ${\partial^2 f}/{\partial{x^2_i}}(X0)$ . Je-li $i \ne j$ , nazýváme parciální derivace $f^{\prime\prime}_{x_i x_j}$ resp. $f^{\prime\prime}_{x_j x_i}$ smíšenými parciálními derivacemi druhého rádu.

Diferenciál k-tého rádu

Definice

Je-li $f: A \right R$ trídy $C^m<m>, pak pro libovolné <m>X_0 \in A$ a $k \leq m$ funkci, která každému vektoru $\vec{h} = (h_1, ..., h_n)$ priradí k-tou derivaci funkce f podle vektoru h, tedy funkci

$d^k f(X_0, \vec{h}) = f^{(k)}_{h^k}(X_0) = {(h_1 \partial/{\partial x_1} + \cdots + h_n \partial/{\partial x_n})}^k (f(X_0))$

nazýváme diferenciálem k-tého rádu funkce f v bode X_0 .

Definice

Má-li funkce f spojité parciální derivace až do rádu k na okolí U(X_0)

bodu

, potom Taylorovým polynomem funkce f v bode X_0

nazýváme polynom

$T_k(X) = f(X_0) + 1/{1!}df(X_0,X − X_0) + 1/{2!}d^2f(X_0,X − X_0) + \cdots + 1/{k!}d^kf(X_0,X − X_0)$ .

Extrémy funkcí více promenných

Definice

Řekneme, že funkce $f: A \right R, A \subset R^n$ má v bode $X_0 \in A$ lokální maximum (resp. minimum), jestliže existuje okolí U(X_0)

tak, že platí

$\forall X \in U^*(X_0): f(X) \le f(X_0) (resp. f(X) \ge f(X_0))$ .

V prípade, že platí ostré nerovnosti, ríkáme, že lokální maximum resp. minimum je ostré. Lokální maximum a minimum se nazývá spolecným pojmem lokální extrém.

Věta (Fermatova), Nutná podmínka pro extrém

Necht $f: A \right R$ je hladká na nejakém okolí U(X_0)

bodu

a necht má funkce f v bode X_0

lokální extrém. Pak platí:

$\vec{grad f}(X_0) = f^\prime(X_0) = 0$ .

Platí-li v bode X_0 vztah $\vec{grad f}(X_0) = 0$ , ríkáme, že X_0 je stacionární bod funkce f. Stacionární bod, ve kterém extrém nenastane, se nazývá sedlový bod.

Věta, Postacující podmínka pro extrém

Necht

je stacionárním bodem funkce $f: A \right R$ . Pak platí-li pro každý nenulový prírustkový vektor $\vec{h}$

, je v bode lokální minimum,
, je v bode lokální maximum,
$d^2f(X_0, h) \ge 0$ , extrém v bode muže a nemusí nastat,
$d^2f(X_0, h) \le 0$ , extrém v bode muže a nemusí nastat.

Jestliže pro nekteré $\vec{h}<\m> je <m>d^2f(X_0, h) > 0$ a pro jiné $\vec{h}<\m> je <m>d^2f(X_0, h) < 0$ , extrém nenastane

$D_1 = | \matrix{1}{1}{ f^{\prime\prime}_{x_1 x_1} } |$ $D_2 = | \matrix{2}{2}{ f^{\prime\prime}_{x_1 x_1} f^{\prime\prime}_{x_1 x_2} f^{\prime\prime}_{x_2 x_1} f^{\prime\prime}_{x_2 x_2} } |$

Věta (Sylvestrovo kriterium)

Necht A je stacionární bod funkce f n promenných.

Jsou-li v bode A subdeterminanty , …,Dn matice $f^{\prime\prime}$ všechny kladné, má funkce f v bode A lokální minimum.
Jsou-li v bode A subdeterminanty , … záporné a subdeterminanty , … kladné (tedy jsou strídave záporné a kladné s záporným), má funkce f v bode A lokální maximum.
Je-li nekterý subdeterminant se sudým indexem v bode A záporný, potom v bode A extrém nenastane.
Je-li nekterý subdeterminant s lichým indexem kladný a jiný záporný, extrém nenastane.

Je-li nekterý subdeterminant v bode A roven nule a predchozí dve podmínky extrém nevyloucily, nelze pomocí tohoto kriteria o existenci extrému rozhodnout.

Definice