temata:17a-matematicka_analyza:integraly_jedne

Obsah

Integrály funkce jedné proměnné
- Úvod
Potvrzení

Integrály funkce jedné proměnné

Úvod

Integrály

Motivace

Mějme graf funkce f. Zvolme dva body a a b a určeme obsah plochy pod křivkou mezi těmito body.

Jak na to???

Rozdělíme interval <a; b> na n menších intervalů a obsah v každém tomto intervalu aproximujeme obdélníkem. Celkový obsah pod plochou je potom přibližně roven součtu obsahů jednotlivých obdélníků. Čím více budeme daný interval dělit na menší intervaly, tím více se bude součet obsahů odbélníků blížit obsahu pod křivkou.

equations???

obsah jednoho obdelniku je dS = dx f(x)

zintegrujeme obe strany

$S = \int{}{}{f(x) dx}$

tedy obsah ziskame integraci fce f

Pozn.: Nejedná se o formální odvození

Základ

Definice

Nechť J je interval s krajními body a, b, a < b (mohou být nevlastní). Řekneme, ře funkce F je primitivní fukncí k funkci f na intergalu J, jestliže platí:

a) pro každý bod $x \in (a, b)$ platí $F^\prime(x) = f(x)$ ,
b) $F^{\prime}_{+}(a) = f(a)$ , resp. $F^{\prime}_{-}(a) = f(b)$ , pokud $a \in J$ , resp. $b \in J$

Věta

Ke každé fci spojité na intervalu J existuje na tomto intervalu primitivní funkce

Věta

Je-li F primitivní funkce k funkci j na intervalu J a c reálné číslo, potom i funkce H definovaná předpisem H(x) = F(x) + c

je primitivní funkcí k funkci f na intervalu J

Věta

Jestliže F a G jsou dvě primitivní funkce k funkci f ina intervalu J, potom funkce F - G je na intervalu J konstantní

Věta

${[\alpha_1 F_1(x) + \alpha_2 F_2(x) + ... \alpha_n F_n(x)]}\prime = \alpha_1 f^\prime_1(x) + \alpha_2 f^\prime_2(x) + ... \alpha_n f^\prime_n(x)]$

Definice

Neurčitým integrálem rozumíme množinu všech primitivních funkcí

Vzorečky

Základní vzorce pro integrály:

http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/3/gifa3/pc3da3aa.gif

Rozklady

Co s tím

Složité integrály se snažíme rozložit na jednodušší podle základní početních pravidel

použijeme základní vzorce
per partes
substituce
rozklad na parciální zlomky

Věta (per partes)

$\int{}{}{u^\prime(x)v(x)dx = u(x)v(x) - \int{}{}{u(x)v^\prime(x)}dx}$

Věta (substituce)

$\int{}{}{f(g(x))g^\prime(x)dx} = \int{}{}{f(t)dt}, t = g(x)$

Věta (parciální zlomky)

$\int{}{}{P(x)/Q(x)}$ se snažíme upravit na:

a) $\int{}{}{{A}/{(x - a)}dx} = A ln |x - a|$
b) $\int{}{}{{A}/{(x - a)^n}dx} = -{A}/{(n - 1)(x - a)^{n - 1}}$
c) $\int{}{}{{Mx + N}/{(x^2 + px + q)}dx}$
d) $\int{}{}{{Mx + N}/{(x^2 + px + q)^n}dx}$ (Př. na rekuretní výpočet)

Příklady

Příklady

Odvoďte rekurentní vzorec pro výpočet integrálu

$I_n(x) = \int{}{}{dx/{(1+x^2)^n}}, n \in N$

1.) integrujeme pomocí per partes

$\int{}{}{dx/{(1+x^2)^n}} = x/{(1+x^2)^n} - \int{}{}{x.(-n((1+x^2)^{-n - 1}).2x)} = x/{(1+x^2)^n} + 2n\int{}{}{{x^2}/{(1+x^2)^{n + 1}}}$

Z toho

$\int{}{}{{x^2}/{(1+x^2)^{n + 1}}} = \int{}{}{{x^2 + 1 - 1}/{(1+x^2)^{n + 1}}} = \int{}{}{{x^2 + 1}/{(1+x^2)^{n + 1}}} - \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^{n + 1}}} = \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^n}} - \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^{n + 1}}}$

Dáme dohromady

$\int{}{}{dx/{(1+x^2)^n}} = x/{(1+x^2)^n} + 2n(\int{}{}{{1}/{(1+x^2)^n}} - \int{}{}{{1}/{(1+x^2)^{n + 1}}})$

$I_n(x) = x/{(1+x^2)^n} + 2n(I_n(x+1) - I_{n + 1}(x))$

$I_n(x) = x/{(1+x^2)^n} + 2nI_n(x+1) - 2nI_{n + 1}(x)$

$2nI_{n + 1}(x) = x/{(1+x^2)^n} + 2nI_n(x+1) - I_n(x)$

$2nI_{n + 1}(x) = x/{(1+x^2)^n} + (2n- 1)I_n(x+1)$

$I_{n + 1}(x) = {x/{(1+x^2)^n} + (2n- 1)I_n(x+1)}/{2n}$

$I_{n + 1}(x) = x/{2n.(1+x^2)^n} + {(2n- 1)}/{2n}I_n(x+1)}$

2.) spočítáma integrál pro n = 1

$I_1(x) = \int{}{}{dx/{(1+x^2)}} = arctg(x)$

Příklady

$\int{}{}{{x^3 + 1}/{x^3 - x^2}dx}$

${x^3 + 1}:{x^3 - x^2} = 1 + {x^2 + 1}/(x^3 - x^2)$

${x^2 + 1}/{x^3 - x^2} = {x^2 + 1}/{x^2(x - 1)} = A/x + B/x^2 + C/{x - 1}$

x^2 + 1 = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2 = A(x^2 - x) + B(x - 1) + Cx^2

x^2: 1 = A + C

x: 0 = -A + B

1: 1 = -B

B = -1, A = -1, C = 2

${x^2 + 1}/{x^3 - x^2} = -1/x - 1/x^2 + 2/{x - 1}$

takže celkem

$\int{}{}{{x^3 + 1}/{x^3 - x^2}dx} = \int{}{}{1 - 1/x - 1/x^2 + 2/{x - 1}} = x - ln|x| + 1/x + 2ln|x - 1|$

Teorie

Definice

Nechť je dán interval <a, b> a konečná posloupnost

D = (x_0, x_1, ..., x_n)

reálných čísel, pro která platí a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b . Potom D nazýváme dělením intervalu <a, b>, x_i dělící body.

Definice

Nechť f je funkce omezená na intervalu <a, b> a nechť D je dělení intervalu <a, b>. Označme m_i

, resp.

infinum, resp. supremum funkce f na intervalu $<x_{i-1}, x_i>$ pro $i \in {1, ..., n}$ . Potom číslo

$L(f, D) = \sum{i = 1}{n}{m_i(x_i - x_{i - 1})}$

nazýváme dolním součtem a číslo

$U(f, D) = \sum{i = 1}{n}{M_i(x_i - x_{i - 1})}$

horním součtem funkce f na intervalu <a, b> při dělení D.

Definice

Čísla

$\int{\_a}{b}{f(x)dx} = sup L(f, D)$ ,

$\int{a}{\_b}{f(x)dx} = inf U(f, D)$

nazýváme dolním a horním Riemanovým integrálem. Jestliže se obě čísla rovnají, říkáme, že funkce f je Riemanovsky integrovatelná na intervalu <a, b> a značíme $R \in <a, b>$