OBSAH WEBU
ČTĚTE!
od Černocký & kolektiv z fitušky
Základní rozdělení
rozdělení
Zavedení
Spojité signály:
Diskrétní signály:
Energie (E)
,
,
Výkon (P)
Transformace souřadnic
analogicky pro diskrétní signály
Periodické signály
sudý/lichý signál
/
Jednotkový impuls
Jednotkový skok
reakce systému na jednotkový impuls je fce h[n], potom dostáváme:
tuto fci nazýváme konvoluce signálů x[n] a h[n] a značíme:
*
analogicky pro x(t):
*
vlastnosti konvoluce:
vlastnost | vzorec |
---|---|
komutativita | a(t)*b(t) = a(t)*b(t) |
asociativita | (a(t)*b(t))*c(t) = a(t)*(b(t)*c(t)) |
distribuce | a(t)*[b(t) + c(t)] = a(t)*b(t) + a(t)*c(t) |
kauzalita, stabilita
.
Zajímavost u diskrétní komplexní exponenciály:
… impulsní odezva systému
výstup je potom roven
nahraďme integrál fcí
potom dostaneme
nazýváme eigenfunction (vlastní fce), dosazením konkrétního dostaneme eigenvalue (vlastní hodnotu)
analogicky pro diskrétní signál:
, kde
Vidíme, že výstupem systému na komplexní exponenciálu je opět komplexní exponenciála vynásobení komplexním číslem (změní se fáze a amplituda).
Motivace
Z reakce LTI systému vidíme, že pokud je vstupem komplexní exponenciála, je výpočet výstupu jednoduchý. Proč?
Pokud bude fce dána součtem exponenciál, výstup se bude počítat jednoduše, jak na to?
Chceme fci x(t) zapsat jako
Př.
Jak určit koeficienty obecným vzorcem?
pro :
, energie za jednu perioda je rovna 0
pro :
takže
definice (spojitý signál)
Signál x(t) lze vyjářit jako
kde
pro , základní perioda, základní úhlová rychlost/frekvence
a zároveň platí:
definice (diskrétní signál), také DFŘ (diskrétní FŘ)
… normovaná kruhová frekvence
a z toho:
… normovaná frekvence
Vykousnutí posloupnosti délky N
Periodizace posloupnost délky N
Periodické posunutí posloupnost délky N
Kruhové posunutí posunutí posloupnost délky N
Lineární konvoluce (pro posloupnost délky N)
periodická konvoluce (pro posloupnost délky N)
kruhová konvoluce (pro posloupnost délky N)
Motivace
Neperiodický signál si můžeme představit jako periodický signál, jehož perioda se blíží nekonečnu. Ukážeme na příkladu obdélníkové impulsu.
Označme periodický signál, neperiodický signál,
potom platí:
,
.
Přesuňme se teď z periodického na neperiodický signál, změní se nám rovnice, přejde na
je mimo rovna 0, proto můžeme přepsat meze integrálu:
,
spektrum už známe:
,
potom můžeme psát:
.
Vložením do FŘ dostaneme:
,
protože , přepíšeme rovnici na:
.
Jelikož , , vzorec potom přechází na tvar:
.
formule
Pro neperiodický signál platí:
… zpětná Fourierova transformace
… Fourierova transformace
tj. signálem v časové oblasti je exponenciála, spektrum periodického signálu potom můžeme zapsat tedy:
vzorec, který musíme znát i ve spánku
*
Slovně: konvoluce signálů v časové oblasti odpovídá součinu spekter těchto signálů ve frekvenční oblasti
*
Slovně: součinu signálů v časové oblasti odpovídá konvoluce spekter těchto signálů ve frekvenční oblasti
ve frekvenční oblasti (frequence domain):
… přenosová funkce
konvoluce stejně
*
*
!!derivace!!
časová oblast:
frekvenční oblast:
… nulové body, nuly
… póly
motivace
vlastnost DFŘ:
nebylo by jednodušší mít signál/spektrum konečné délky?
Řešením je DFT. Jak na to?
Když se potom bavíme o DFT, předpokládáme omezenou posloupnost i spektra (např. budeme brát jen N členů).
formulas
odvození:
takze:
14 | ||
---|---|---|
Celé jméno | OK | !!! |
vagy | ||
Jirka Hynek | ||
2 |
Diskuze
DOpsat definice spektra: Spektrum je zobrazeni signalu v casove oblasti pomoci souradnic ve frenkvencni oblasti. (neni tam parametr cas, ale parametr funkce je frekvence) . Ze spektra je mone spocitat koeficienty furierovy rady
Nekam zvyraznit obecny vzorec pro konvoluci.