Starší verze Správa médií

Poslední úpravy Index

OBSAH WEBU

ČTĚTE!

Toto je starší verze dokumentu!

Obsah

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných
- - Funkce více proměnných
  - Limita, spojitost

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Funkce více proměnných

Definice

Reálnou funkce f více reálních proměnných rozumíme zobrazení $R^n \right R$ . Nechť $X \in R^n$ , potom zapisujeme y = f(X)

, kde

K funkci lze přířadit graf: $G(f) = \lbrace[X, y]: X \in D_f \subset R^n, y = f(X)\rbrace$

Př. Máme fci z = x^2 + y^2 , určete graf. Řešení: Provedeme několik řezů rovinou xy.

Analogicky reálné fce jedné reálné proměnné se zavádí operace s funkcemi, maximum, minimum, restrikce fce, …

Definice

Nechť je dána funkce $f : A \subset R, A \right R^m$ a m funkcí n proměnných $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_m$ , které jsou definované na množine $M \subset Rn$ tak, že platí:

$[\varphi_1(t_1, t_2, ..., t_n), \varphi_2(t_1, t_2, ..., t_n), ..., \varphi_m(t_1, t_2, ..., t_n)] \subset A$ pro $[t_1, t_2, ..., t_n] \in M$ .

Potom funkci

$F(t_1, t_2, ..., t_n) = f(\varphi_1(t_1, t_2, ..., t_n), \varphi_2(t_1, t_2, ..., t_n), ..., \varphi_m(t_1, t_2, ..., t_n))$ ,

která je definovaná na množine , nazýváme složenou funkcí. Funkci f nazýváme vnější složkou a funkce $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_m$ vnitřními složkami.

Limita, spojitost

Definice

Vzdálenost dvou bodů X = [x_1, x_2, ..., x_n]

, $X, Y \in R^n$ je číslo d(X, Y)

definované předpisem:

$d(X, Y) = \sqrt{(x_1 − y_1)^2 + (x_2 − y_2)^2 + ... + (x_n − y_n)^2}$ .

Jiné definice vzdálenosti, např. Manhattan

Definice

Buď $A \subset R^n$ . Množina

$U_{\delta}(A) = \lbrace X \subset R^n : d(A,X) < \delta\rbrace$

se nazývá okolí bodu , množina

$U_{\delta}^*(A) = U_{\delta}(A) - \lbrace A\rbrace$

se nazývá redukované okolí bodu A. Číslo $\delta$ se nazývá poloměr okolí.

Definice

Řekneme, že funkce $f: M \right R, M \subset R^n$ má v bodě A limitu b, když

A je hromadným bodem množiny M,
k libovolnému okolí U(b) limity b existuje okolí U(A) bodu A tak, že funkce f zobrazí redukované okolí do , tedy $\forall U(b) \exists U(A): f(U^*(A)) \right U(b)$ .