temata:17a-matematicka_analyza:derivace_jedne

Starší verze Správa médií

Poslední úpravy Index

OBSAH WEBU

ČTĚTE!

Obsah

Derivace funkce jedné proměnné
Potvrzení
Diskuze

Derivace funkce jedné proměnné

Úvod

Derivace

Motivace

Mějme graf funkce f. Zvolme bod P a najděme tečnu ke grafu funkce f v tomto bodě.

Jak na to???

Zvolme libovolný bod Q a sestrojme sečnu procházející body P a Q. Posléze přibližujme pod Q k bodu P. Čím více se bod Q bude přibližovat k bodu Q, tím více se sečna bude blížit tečně.

Rovnice sečny:

y = k ( x - x_0 ) + y_0

$k = {y - y_0}/{x - x_0}$

přibližováním bodu Q k bodu P se směrnice k blíží ke směrnici tečny, v konečné fázi:

$k_t = lim{x \right x_0}{{y - y_0}/{x - x_0}}$

Pozn. $\Delta x = x - x_0$

Definice

Předpokládejme, že funkce f je definovaná na nějakém okolí bodu x_0. Jestliže existuje vlastní limita

$lim{\Delta x \right 0}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}$

potom říkáme, že funkce f je v bodě x_0 diferencovatelná, limitu(číslo) nazýváme derivace a značíme $f\prime(x_0)$ , ${df(x_0)}/{dx}$ , {dy}/{dx} a další.

Věta

Má-li funkce v bodě x_0

derivace, potom je v tomto bodě spojitá

Základní vzorce pro derivace

Vzorečky

$(kf)^\prime = kf^\prime$

$(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime$

$(f - g)^\prime = f^\prime - g^\prime$

$(fg)^\prime = f^\prime g + f g^\prime$

$(f/g)^\prime = {f^\prime g - f g^\prime}/{g^2}$

Derivace složené funkce:

$(f(g(x)))^\prime = f(g)^\prime g(x)^\prime$

Derivace inverzní funkce:

${f^(-1)}^\prime = 1/{f^\prime}$

Vzorečky

Derivace elementárních fcí:

http://ftp.mgo.opava.cz/kav/download/matematika/seminar/derivace/der_el_fci.pdf

Jednostranné derivace

Definice

Předpokládejme, že funkce f je definovaná na nějakém levém, resp. pravém okolí bodu x_0

. Jestliže existuje vlastní limita

$lim{\Delta x \right 0^{-}}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}$ , resp. $lim{\Delta x \right 0^{+}}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}$

potom limitu(číslo) nazýváme derivace zleva, resp. zprava (souhrně jednostranné derivace) a značíme $f\prime_-(x_0)$ , resp. $f\prime_+(x_0)$

Věta

Funkce má v bodě x_0

derivaci právě když existují obě jednostrané derivace v bodě x_0

a jsou si rovny

Dodatek

Definice

Nechť $n \in N$ . Potom n-tou derivace funkce v rozumíme:

$f^{(n)} = f^{(n - 1)}$

$f^{(0)} = f$

Platí: $Df \subset Df^\prime \subset Df^{\prime\prime} \subset ...$

Definice

Fce f je třídy C^0

, jestliže je f spojitá.

Fce f je třídy C^1 , jestliže je derivace f spojitá.

Fce f je třídy C^k , jestliže je derivace f^(k) spojitá a $f^{(k-1)}$ třídy $C^{k-1}$ .

příklady

příklady

1) $f(x) = {sin}^2({cos}^3(tg x))$

2) $f(x) = x^{lnx}$

3) $f(x) = {(x/{x + 1})}^x$

1) derivace složené fce

${{sin}^2({cos}^3(tg x))}\prime = 2sin({cos}^3(tg x)) . cos({cos}^3(tg x)) . 3{cos}^2(tg x) . (-sin(tg x)) . 1/{cos^2(x)}$

2) derivaci je potreba prevest na zname vzorce

$y = x^{lnx}$

$lny = lnx^{lnx}$

lny = lnx lnx

$lny = {ln}^2x$

$e^{{ln}^2x} = y$

$y = e^{{ln}^2x}$

derivujeme az teď

$y\prime = e^{{ln}^2x} . 2lnx . 1/x = x^{lnx} . 2lnx . 1/x = x^{lnx - 1} . 2lnx$

3) derivaci je potreba prevest na zname vzorce

$y = {(x/{x + 1})}^x$

$lny = ln{(x/{x + 1})}^x$

lny = x . ln{(x/{x + 1})}

$e^{x . ln{(x/{x + 1})}} = y$

$y = e^{x . ln{(x/{x + 1})}}$

derivujeme az teď

$y\prime = e^{x . ln{(x/{x + 1})}} . [ ln{(x/{x + 1})} + x({x + 1}/x . [ {1.x + (x + 1)}/x^2 ] ) ]$

Pokračování

monotónnost, extrémy

Definice

Řekněme, že funkce f je definovaná ne nějakém okolí bodu $c \in R$ , má v bodě c lokální maximum, resp. minimum, jestliže $\exists \delta > 0$ tak, že pro $\forall c \in O(c, \delta)$ je $f(x) \le f(x)$ , resp. $f(x) \ge f(x)$ . Oba definované pojmy souhlasně nazýváme lokální extrémy.

Věta

Jestliže má fce v bodě c lokálné extrém a je diferencovatelné, potom platí $f^\prime(c) = 0$

Věta

Jestliže je fce konstantní a je diferencovatelné, potom platí $f^\prime(x) = 0$

Věta

Jestliže je fce diferencovatelná a rostoucí, resp. klesající, potom je $f^\prime(x) > 0$ , resp. $f^\prime(x) < 0$

l'Hopitalovo pravidlo

Věta

Předpokládejme, že fce f,g jsou definované na nějakém neúplném okolí, popř. na příslušných neúplných jednostranných okolí a platí, že

$lim{}{f(x)} = lim{}{g(x)} = 0,\infty$

a existuje

$lim{}{{f^\prime(x)}/{g^\prime(x)}} = \lambda \in R^*$

potom existuje také limita lim{}{{f(x)}/{g}} a rovná se $\lambda$

tvary $0.\infty, \infty - \infty, 0^0, \infty^0, 1^\infty, 1^{-\infty}$ se dají převést na tvar 0/0 nebo $\infty/{\infty}$

dodatek

tvar $0.\infty (f.g)$ převádíme na tvar f/{1/g} nebo g/{1/f} a tím na tvar 0/0 nebo $\infty/{\infty}$

tvar $\infty-\infty (f-g)$ převádíme na tvar f - g = {(1/g) - (1/f)}/{(1/g)(1/f)}

$\lim{x \right 3}(6/{x^2 - 9} - 1/{x-3}) = \lim{x \right 3}({6 - (x + 3)}/{x^2 - 9}} = \lim{x \right 3}({3 - x}/{x^2 - 9}} = \lim{x \right 3}{{-1}/{2x}} = -1/6$

tvar $0^0, {\infty}^0 (f^g)$ převádíme na tvar $e^{g ln f}$ , $\lim{}{e^{g(x) ln f(x)}} = e^{(\lim{}{{g(x) ln f(x)}})}$

příklady

$\lim{x \right 0}{{sinx}/x}$

dosazením 0 za x dostaneme tvar 0/0

zderivujeme

$\lim{x \right 0}{{sinx\prime}/{x\prime}} = \lim{x \right 0}{{cosx}/1}$

dosadíme znovu 0 za x, dostaneme 1

Taylorova věta

Motivace

Máme fci sin(x). Naším cílem je tuto fci nahradit polynom, který ji bude s dostatečnou přesností aproximovat. Jak na to půjdeme?

předpokládáme, že: sin(x) = f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + ... , kde a_i jsou koeficienty polynomu, x_0 je předem zvolená konstanta (hodnota), kolem které budeme aproximovat (volí se tak, aby daný polynom konvergoval co nejrychleji)

Jak získáme koeficienty?

f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + ...

$f(x)\prime = 1.a_1 + 2.a_2(x - x_0) + 3.a_3(x - x_0)^2 + 4.a_4(x - x_0)^3 + ...$

$f(x)\prime\prime = 2.1.a_2 + 3.2.a_3(x - x_0) + 4.3.a_4(x - x_0)^2 + 5.4.a_5(x - x_0)^3 + ...$

$f(x)\prime\prime\prime = 3.2.1.a_3(x - x_0) + 4.3.2.a_4(x - x_0) + 5.4.3.a_5(x - x_0)^2 + ...$

…

dosadíme x_0 za x:

f(x_0) = a_0

$f(x_0)\prime = 1.a_1$

$f(x_0)\prime\prime = 2.1.a_2$

$f(x_0)\prime\prime\prime = 3.2.1.a_3$

…

$f(x_0)^{(n)} = n!.a_3$

takže

$a_3 = f(x_0)^{(n)}/{n!}$

dosadíme do polynomu:

$f(x) = f(x_0) + f(x_0)/{1!}(x - x_0) + f(x_0)/{2!}(x - x_0)^2 + f(x_0)/{3!}(x - x_0)^3 + ... = \sum{n = 0}{\infty}{{f^{(n)}}/{n!}(x - x_0)^n}$

Věta

Necht f je definovana na intervalu <a;b> a $n \in N$ . Nechť f je dále třídy C^k

a v každém bodě tohoto intervalu má fce (n+1)-ní derivaci. Nechť $x_0, x \in <a;b>$ . Potom existuje bod $\theta$ mezi body x_0 a x tak, že platí

$f(x) = \sum{n = 0}{\infty}{{f^{(n)}}/{n!}(x - x_0)^n}$

Příklad

f(x) = sin(x), x_0 = 0

$f(x)\prime = cos(x)$

$f(x)\prime\prime = -sin(x)$

$f(x)\prime\prime\prime = -cos(x)$

$f(x)^{(4)} = sin(x)$

…

f(0) = 0

$f(0)\prime = 1$

$f(0)\prime\prime = 0$

$f(0)\prime\prime\prime = -1$

$f(0)^{(4)} = 0$

…

$sin(x) = x - {x^3}/{3!} + {x^5}/{5!} - {x^7}/{7!} + ... + (-1)^{m - 1} . {x^{2m - 1}}/{(2m - 1)!} + R_m{x}$

Dále:

$cos(x) = 1 - {x^2}/{2!} + {x^4}/{4!} - {x^6}/{6!} + ... + (-1)^m . {x^{2m}}/{(2m)!} + R_m{x}$

$e^x = 1 + x/{1!} + {x^2}/{2!} + {x^3}/{3!} + {x^4}/{4!} + ... + + {x^n}/{n!} + R_n{x}$

Perlička:

$e^{ix} = 1 + {ix}/{1!} + {{ix}^2}/{2!} + {{ix}^3}/{3!} + {{ix}^4}/{4!} + ... + + {{ix}^n}/{n!} + R_n{x}$

$e^{ix} = 1 + i{x}/{1!} - {{x}^2}/{2!} - i{{x}^3}/{3!} + {{x}^4}/{4!} + ... + + {{ix}^n}/{n!} + R_m{x}$

$e^{ix} = 1 - {{x}^2}/{2!} + {{x}^4}/{4!} + ... + i{x}/{1!} - i{{x}^3}/{3!} + ... + {{ix}^n}/{n!} + R_m{x}$

$e^{ix} = (1 - {{x}^2}/{2!} + {{x}^4}/{4!}) + ... + i({x}/{1!} - {{x}^3}/{3!}) + ... + {{ix}^n}/{n!} + R_m{x}$

$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$

Průběh fce

lokální extrémy pokračování

Věta

Jestliže $f^\prime(c) = 0$ a $f^\prime(c) \ne 0$ , potom má fce f v bodě c lokální extrém. Pro $f^\prime(c) > 0$ lokálné minimum, pro $f^\prime(c) < 0$ lokální maximum.

Věta

Nechť $f^\prime(c) = f^{\prime\prime}(c) = ... = f^{(n - 1)}(c) = 0, f^{(n)}(c) \ne 0, n \in N$

jesliže je n sudé, potom má fce f v bodě c lokální extrém, $f^{(n)}(c) < 0$ maximum, $f^{(n)}(c) > 0$ minimum.

Konvexnost, konkávnost, inflexe

Definice

Řekneme, že funkce f je ryze konvexní na množine $M \subset R$ , jestliže pro každé tři body $x_1, x_2, x_3 \in M, x_1 < x_2 < x_3$ , leží bod Q_2 = [x_2, f(x_2)]