temata:17a-matematicka_analyza:derivace_jedne

Starší verze Správa médií

Poslední úpravy Index

OBSAH WEBU

ČTĚTE!

Toto je starší verze dokumentu!

Obsah

Derivace funkce jedné proměnné
- Úvod
- Průběh funkce
Diskuze

Derivace funkce jedné proměnné

Úvod

Motivace

Mějme graf funkce f. Zvolme bod P a najděme tečnu ke grafu funkce f v tomto bodě.

Jak na to???

Zvolme libovolný bod Q a sestrojme sečnu procházející body P a Q. Posléze přibližujme pod Q k bodu P. Čím více se bod Q bude přibližovat k bodu Q, tím více se sečna bude blížit tečně.

Rovnice sečny:

y = k ( x - x_0 ) + y_0

$k = {y - y_0}/{x - x_0}$

přibližováním bodu Q k bodu P se směrnice k blíží ke směrnici tečny, v konečné fázi:

$k_t = lim{x \right x_0}{{y - y_0}/{x - x_0}}$

Pozn. $\Delta x = x - x_0$

Definice

Předpokládejme, že funkce f je definovaná na nějakém okolí bodu x_0. Jestliže existuje vlastní limita

$lim{\Delta x \right 0}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}$

potom říkáme, že funkce f je v bodě x_0 diferencovatelná, limitu(číslo) nazýváme derivace a značíme $f\prime(x_0)$ , ${df(x_0)}/{dx}$ , {dy}/{dx} a další.

Věta

Má-li funkce v bodě x_0

derivace, potom je v tomto bodě spojitá

Vzorečky

$(kf)^\prime = kf^\prime$

$(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime$

$(f - g)^\prime = f^\prime - g^\prime$

$(fg)^\prime = f^\prime g + f g^\prime$

$(f/g)^\prime = {f^\prime g - f g^\prime}/{g^2}$

Derivace složené funkce:

$(f(g(x)))^\prime = f(g)^\prime g(x)^\prime$

Derivace inverzní funkce:

${f^(-1)}^\prime = 1/{f^\prime}$

Vzorečky

Derivace elementárních fcí:

http://ftp.mgo.opava.cz/kav/download/matematika/seminar/derivace/der_el_fci.pdf

Definice

Předpokládejme, že funkce f je definovaná na nějakém levém, resp. pravém okolí bodu x_0

. Jestliže existuje vlastní limita

$lim{\Delta x \right 0^{-}}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}$ , resp. $lim{\Delta x \right 0^{+}}{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}/{\Delta x}}$

potom limitu(číslo) nazýváme derivace zleva, resp. zprava (souhrně jednostranné derivace) a značíme $f\prime_-(x_0)$ , resp. $f\prime_+(x_0)$

Věta

Funkce má v bodě x_0

derivaci právě když existují obě jednostrané derivace v bodě x_0

a jsou si rovny

Definice

Nechť $n \in N$ . Potom n-tou derivace funkce v rozumíme:

$f^{(n)} = f^{(n - 1)}$

$f^{(0)} = f$

Platí: $Df \subset Df^\prime \subset Df^{\prime\prime} \subset ...$

Definice

Fce f je třídy C^0

, jestliže je f spojitá.

Fce f je třídy C^1 , jestliže je derivace f spojitá.

Fce f je třídy C^k , jestliže je derivace f^(k) spojitá a $f^{(k-1)}$ třídy $C^{k-1}$ .

Průběh funkce

Definice

Řekněme, že funkce f je definovaná ne nějakém okolí bodu $c \in R$ , má v bodě c lokální maximum, resp. minimum, jestliže $\exists \delta > 0$ tak, že pro $\forall c \in O(c, \delta)$ je $f(x) \le f(x)$ , resp. $f(x) \ge f(x)$ . Oba definované pojmy souhlasně nazýváme lokální extrémy.