temata:17a-matematicka_analyza:diferencialni

Starší verze Správa médií

Poslední úpravy Index

OBSAH WEBU

ČTĚTE!

Obsah

Diferenciální rovnice
- Názvosloví
Potvrzení
Diskuze

Diferenciální rovnice

Názvosloví

Definice

Diferenciální rovnice - každá rovnice obsahující derivace (obyčejné, parciální),

př. $ay\prime\prime + by\prime + cy = g(t)$
př. $sin(y){d^2y}/{dx^2} = (1 - y){dy}/{dx} + y^2e^{-5y}$
př. ${\partial^3u}/{\partial^2x\partial t} = 1 + {\partial u}/{\partial y}$

Řád derivace - nejvyšší derivace obsažená v rovnici

Obyčejné(ODE)/Parciální(PDE) diferenciální rovnice - obsahující derivace podle jedné/více proměnných

Lineární diferenciální rovnice - každá rovnice tvaru $a_n(t)y^{(n)}(t) + a_{n - 1}(t)y^{(n - 1)}(t) + ... + a_1(t)y\prime(t) + a_0(t)y(t) = g(t)$

Řešení na intervalu J - každá fce, pro kterou je na J splněna daná rovnice

Počáteční podmínky (IV) - jednoznačně určují konkrétní řešení dané rovnice

IVP - Initial Value Problem - DE s počátečními podmínkami

př. $2ty\prime + 4y = 3, y(1) = -4$

Interval of Validity for IVP - největší možný interval, na kterém je dané řešení rovnice validní

Obecné řešení (General Solution) - Řešení bez počátečních podmínek

Actual Solution - GS s dosazením IV

Explicitní/Implicitní řešení - y = f(t)/0 = f(y,t)

Diferenciální rovnice prvního řádu (First Order ODE)

Lineární rovnice

Lineární rovnice

Tvar:

Řešení: $y(t) = {\int{}{}{\mu(t)g(t)dt} + c}/{\mu(t)}$ , $\mu(t) = e^{\int{}{}{p(t)dt}}$

Řešení2:

1. určíme řešení rovnice $y\prime + p(t)y = 0$ ve tvaru y(t) = cF(t)

2. y(t) = cF(t) přepíšeme na y(t) = c(t)F(t) a dosadíme do původní rovnice

3. spočíme c(t), dosadíme do y(t) = c(t)F(t)

příklad

příklad

$v\prime = 9.8 - 0.196v$

upravíme do správného tvaru

$v\prime + 0.196v = 9.8$

$\mu(t) = e^{\int{}{}{0.196dt}} = e^{0.196t}$

$y(t) = {\int{}{}{e^{0.196t}.9.8dt} + c}/{e^{0.196t}} = {{9.8}/{0.196}e^{0.196t} + c}/{e^{0.196t}} = 50 + ce^{-0.196t}$

$v\prime + 0.196v = 0$

{dv}/{dt} = -0.196v

{dv}/{v} = -0.196dt

ln|v| = -0.196t + c

$|v| = e^{-0.196t + c}$

$|v| = e^{-0.196t}e^c$

$|v| = e^{-0.196t}c$

pro kladné v:

$v = ce^{-0.196t} \doubleright v = c(t)e^{-0.196t}$

$v\prime = c(t)\prime e^{-0.196t} -0.196c(t)e^{-0.196t}$

dosadíme:

$c(t)\prime e^{-0.196t} -0.196c(t)e^{-0.196t} + 0.196.c(t)e^{-0.196t} = 9.8$

$c(t)\prime e^{-0.196t} = 9.8$

$c(t)\prime = 9.8e^{+0.196t}$

$c(t) = 50e^{+0.196t} + k$

$v = c(t)e^{-0.196t} = (50e^{+0.196t} + k)e^{-0.196t} = 50 + ke^{-0.196t}$

pro záporné v:

$-v = ce^{-0.196t} \doubleright v = c(t)(-1)e^{-0.196t}$

$v\prime = c(t)\prime(-1)e^{-0.196t} +0.196c(t)e^{-0.196t}$

dosadíme:

$-c(t)\primee^{-0.196t} + 0.196c(t)e^{-0.196t} - 0.196.c(t)e^{-0.196t} = 9.8$

$-c(t)\prime e^{-0.196t} = 9.8$

$c(t)\prime = -9.8e^{+0.196t}$

$c(t) = -50e^{+0.196t} + k$

$v = -c(t)e^{-0.196t} = -(-50e^{+0.196t} - k)e^{-0.196t} = 50 - ke^{-0.196t} = 50 + ke^{-0.196t}$

Separabilní dif. rovnice (Separable ...)

Separabilní dif. rovnice

Tvar:

Řešení: $N(u){dy}/{dx} = M(x) \doubleleftright N(u)dy = M(x)dx \doubleright \int{}{}{N(u)dy} = \int{}{}{M(x)dx}$

příklad

příklad

$y\prime = {3x^2 + 4x - 4}/{2y - 4}, y(1) = 3$

${dy}/{dx} = {3x^2 + 4x - 4}/{2y - 4}$

${2y - 4}{dy} = {3x^2 + 4x - 4}{dx}$

y^2 - 4y = x^3 + 2x^2 - 4x + k

partikularni reseni:

9 - 12 = 1 + 2 - 4 + k

k = -2

y^2 - 4y = x^3 + 2x^2 - 4x - 2

Exact Differential Equations

Diferenciální rovnice druhého řádu (Second Order ODE)

Názvosloví

Definice

Homogenní/Nehomogenní rovnice - g(t) = 0

/ $g(t) \ne 0$

Second Order ODE, Homogenous, constant coeff.

Tvar: $ay\prime\prime + by\prime + cy = 0$

Řešení ve tvaru: $y(t)=e^{rt}$

Dosadíme:

$a(e^{rt})^{\prime\prime} + b(e^{rt})^\prime + ce^{rt} = 0$

$ar^2e^{rt} + bre^{rt} + ce^{rt} = 0$

$e^{rt}(ar^2 + br + c) = 0$

rovnice bude rovna nule, pokud bude rovno nule (ar^2 + br + c) = 0 , r dostaneme řešením kvadratické (charakteristické rovnice) rovnice

D > 0: $y(t) = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}$

D = 0: $y(t) = c_1te^{rt} + c_2e^{rt}$

D < 0: $y(t) = c_1e^{rt}cos(rt) + c_2e^{rt}sin(rt)$

Second Order ODE, Nonhomogenous, constant coeff.

Určíme partikulární řešení.

Hádáním řešení (Undetermined Coefficients)

	guess
$ae^{\beta t}$	$Ae^{\beta t}$
$acos(\beta t)$	$Acos(\beta t) + Bsin(\beta t)$
$asin(\beta t)$	$Acos(\beta t) + Bsin(\beta t)$
$acos(\beta t) + asin(\beta t)$	$Acos(\beta t) + Bsin(\beta t)$

Dopočítáme homogenní a dostaneme: y(t) = Y_P(t) + Y_H(t)

příklad

příklad

$y\prime\prime + 3y\prime - 10y = 0$

charakteristicka rovnice:

${\lambda}^2 + 3{\lambda} - 10 = 0$

$({\lambda} + 5)({\lambda} - 2) = 0$

${\lambda_1} = 2$

${\lambda_2} = -5$

reseni:

$y = c_1e^{2t} + c_2e^{-5t}$

$y\prime\prime - 4y\prime + 4y = 0$

charakteristicka rovnice:

${\lambda}^2 - 4{\lambda} + 4 = 0$

${({\lambda} -2)}^2 = 0$

${\lambda} = 2$

reseni:

$y = c_1e^{2t} + c_2te^{2t}$

$y\prime\prime - 4y\prime + 9y = 0$

charakteristicka rovnice:

${\lambda}^2 - 4{\lambda} + 9 = 0$

D = 16 - 36 = - 20

${\lambda}_{1,2} = {4 \pm 2i\sqrt{5}}/2$

${\lambda}_{1,2} = 2 \pm i\sqrt{5}$

reseni:

$y = c_1e^{2t}sin(\sqrt{5}t) + c_2e^{2t}cos(\sqrt{5}t)$

příklad

$y\prime\prime - 4y\prime - 12y = 3e^{5t}$

1.) partikularni reseni hadanim

$Y_p = Ae^{5t}$

$Y_p\prime = 5Ae^{5t}$

$Y_p\prime\prime = 25Ae^{5t}$

$25Ae^{5t} - 20Ae^{5t} - 12Ae^{5t} = 3e^{5t}$

$-7Ae^{5t} = 3e^{5t}$

A = -3/7

$Y_p = -3/7e^{5t}$

2.) homogenní řešení

${\lambda}^2 - 4{\lambda} - 12 = 0$

$(\lambda - 6)(\lambda + 2) = 0$

$\lambda_1 = 6$

$\lambda_2 = -2$

$Y_h = c_1e^{6t} + c_2e(-2t)$

3.) Y = Y_h + Y_p

$Y = c_1e^{6t} + c_2e(-2t) + -3/7e^{5t}$

Potvrzení

17a3
Celé jméno	OK	!!!
vagy
	1

vagabund, obyc diferencialni rovnice, linearni rovnice

Diskuze

temata/17a-matematicka_analyza/diferencialni_rovnice.txt · Poslední úprava: 2011/04/21 11:46 autor: vagabund

Starší verze

Zpětné odkazy Nahoru