19 - Booleovy algebry

Algebraická struktura je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná množina je vzhledem k těmto operacím uzavřená, tzn. že výsledkem operace nad prvky této množiny je vždy také prvek této množiny.

• Booleova algebra je uzavřený algebraický systém (B, +, *, -), kde
  1. B je množina prvků, které mohou nabývat výhradně hodnot 1 a 0
  2. + je operace sčítání (OR)
  3. * je operace násobení (AND)
  4. - je negace

1. uzavřený znamená, že výsledky operací se zobrazují opět do množiny B.

O Booleovskou algebru jde však pouze při splnění následujících axiomů(a, b a c patří do B):

• komutativnost: (a + b = b + a)
• asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c, a * (b * c) = (a * b) * c
• distributivnost: (a + (b * c)) = (a + b) * (a + c), a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
• komplementarita: a + -a = 1, a * -a = 0
• neutralita: 0 a 1: a + 0 =a, a * 1 = a

Další teorémy Booleovské algebry:

• existence jediného komplementu
• idempotence: a + a = a, a * a = a
• nulové prvky: a + 1 = 1, a * 0 = 0
• absorbce: a + (a * b) = a, a * (a + b) = a
• involuce(dvojí negace): -(-a) = a
• absorbce negace: a + (-a * b) = a + b, a * (-a + b) = a * b
• Booleovská sousednost: a * b + a * (-b) = a, (a+b) * (a + (-b)) = a
• de Morganovy zákony: -(a + b) = -a * -b, -(a * b) = (-a) + (-b)
• consensus: (a+b) * ((-a) + c) * (b + c) = (a + b) * ((-a) + c), a * b + (-a) * c + b * c = a * b + (-a) * c

Pravdivostní tabulky nebo Vennovy diagramy: