OBSAH WEBU
ČTĚTE!
s neznámými
platí
metody výpočtu dělíme na přímé a iterační
… diskriminant
… diskriminant z matice, kde i-tý sloupec nahrazen sloupcem pravých stran
příklad
Pomocí Cramerova pravidla najdete rešení soustavy rovnic:
Řešení:
Frobeninova věta - soustava rovnic má řešení, pokud hodnot matice soustavy je stejná jako hodnot rozšířené matice soustavy
částečný výběr hlavního prvku - modifikace Gaussovy metody, při úpravě na schodovytý tvar vybíráme jako první nenulový prvek ten, jehož absolutní hodnota je největší (zmenší se tím chyba)
úplný výběr hlavního prvku - podobné částečnému výběru, vybíráme největší hodnoty ve sloupec všech řádků
příklad
Pomocí Gaussovy eliminace vyrešte soustavu rovnic:
Řešení:
zvolíme libovolně počáteční řešení:
dosadíme do rovnic a dostaneme řešení
obecně:
počítá se, dokud řešení nedosáhne např. dané přesnosti nebo není překročen maximální počet kroků
Definice
Matice A se nazývá
řádkově ostře diagonálně dominantní právě tehdy, když
, pro
sloupcově ostře diagonálně dominantní právě tehdy, když
, pro
Věta
Je-li matice A ostře řádkově nebo sloupcove diagonálně dominantní, Jacobiho metoda konverguje
Příklad
Jacobiho metodou rešte soustavu
Řešení:
Matice soustavy je diagonálne dominantní, protože platí
Počáteční aproximace:
Definice
Matice se nazývá pozitivně definitní, jestliže pro každý nenulový sloupcový vektor platí
Věta
Je-li matice A pozitivně definitní, Gauss-Seidelova metoda konverguje
Příklad
Gauss-Seidelovou metodou rešte soustavu
Řešení:
Matice soustavy je diagonálne dominantní, protože platí
Počáteční aproximace:
Věta
Je-li funkce spojitá na intervalu a platí
,
pak v intervalu leží alespoň jeden kořen rovnice .
Podobně jako metoda půlení intervalů.
Mějme fci a interval , na kterém platí .
Počítáme, dokud neplatí:
Věta (Fourierova podmínka)
Nechť v intervalu leží jediný kořen rovnice a nechť a jsou spojité a nemění znaménko na intervalu . Zvolíme-li za počáteční aproximaci tak, aby byla splněna podmínka
,
Newtonova metoda bude konvergovat.
Věta
Nechť funkce g zobrazuje interval do sebe a má na tomto intervalu derivaci. Jestliže existuje číslo tak, že
,
potom iterační metoda konverguje
,
Analogie u jedné rovnice, zvolíme počáteční řešení a počítáme:
Počítá se dokud neplatí:
Najít vhodné iterační funkce muže být velmi obtížné. Proto se daleko častěji používá Newtonova metoda.
Dále označme
Věta
Nechť zobrazuje uzavřenou oblast D do sebe a je v této oblasti diferencovatelná. Jestliže existuje číslo tak, že
,
kde je řádková nebo sloupcová norma matice , pak metoda diverguje.
Příklad
Metodou prosté iterace najdete koren soustavy rovnic
,
který leží v oblasti s přesností .
Řešení:
Zvolme např.
zobrazuje D do sebe:
Jestliže a , pak a tedy .
Podobně .
Konvergence:
Oveříme, zda , neboli zda i .
Jestliže a , pak a . (Tedy .) Podmínky konvergence jsou splneny.
Jako pocátecní aproximaci mužeme zvolit napr. .
0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0.2 |
2 | 0.933 | 0.2 |
3 | 0.942 | 0.174 |
4 | 0.948 | 0.177 |
i
Vychází se ze vztahu:
Je potřeba spočítat inverzní matici, což je pracné, proto vztah upravíme:
Označme
Řešíme potom soustavu:
s neznámými .
Novou aproximaci potom dostaneme:
Počítáme, dokud není splněno:
neboli
… krok
Podle toho, jestli metoda využívá předchozí hodnoty nebo ne, dělíme metody na:
Počáteční úloha
Hledáme fci
.
Další úpravou získáme:
Příklad
Eulerovou metodou s krokem řešte počáteční úlohu
na intervalu .
Řešení:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | |
1 | 0.9 | 0.811 | 0.7339 | 0.6695 | 0.6186 | |
1 | 0.9052 | 0.8213 | 0.7492 | 0.6897 | 0.6435 |
Druhá modifikace:
,
kde
Nejznámější Runge-Kuttova metoda 4. řádu:
Příklad
Rungovou-Kuttovou metodou řešte počáteční úlohu
s krokem na intervalu .
Řešení:
0 | 0 | 1 | 1 | |||
1 | 0.1 | 0.9051627 | 0.9051626 | |||
2 | 0.2 | 0.8212695 | 0.8212693 | |||
3 | 0.3 | 0.7491822 | 0.7491818 | |||
4 | 0.4 | 0.6896804 | 0.6896800 | |||
5 | 0.5 | 0.6434699 | 0.6434693 |
Eulerova metoda
Runge-Kutte 4. řádu
mužeme převést na soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu:
Označme:
Zapsano: .
Příklad
Stanovte pravděpodobnost jevu, že ve 4 hodech kostkou padnou právě 3 šestky.
Řešení:
,
pro
Příklad
Na určítém území dopadí každoročně v určitém období průměrně 7 meteoritů. Jaká je pravděpodobnost, že daný rok v tomto období dopadnou 3 meteority.
Řešení:
Distribuční funkci nelze zintegrovat, proto používáme převod na U-rozložení.
Potom platí:
Základem pro generování jakéhokoli rozložení je generátor rovnoměrně rozložených čísel v intervalu <0, 1). Nejčastějí se používají generátory využívající princip lineárního kongruentního generátoru:
,
kde jsou vhodně zvolené konstanty.
Generátor generuje čísla v rozsahu .Pro převod na interval <0, 1) je potřeba výsledné pseudonáhodné číslo podělit , též perioda generátoru.
Pro dobré statistické výsledky je potřeba zvolit vhodné konstanty. Na počítačích se volí , kde je počet bitů typu unsigned integer (operace modulu se potom děje automaticky).
Nevýhody:
příklad generátoru
static unsigned long ix = seed; // počáteční_hodnota double Random(void) { ix = ix * 69069L + 1; // implicitní operace modulo return ix / ((double)ULONG_MAX + 1); }
Další možností je Mersenne twister. Nemá většinou problémů předchozího generátoru.
Převod rovnoměrného rozložení na jiné, které požadujeme.
metody
postup:
Máme graf fce hustoty pravděpodobnosti. Náhodně generujeme body s rovnoměrným rozložením v obdélníku daného grafu, pokud bod leží pod grafem, vrátíme ho, jinak opakujeme generování.
Náhodnou veličinu s funkcí hustoty f(x), x <x1, x2), f(x) <0,M) ( je max. hodnota ) generujeme takto:
Rozdělíme fci hustoty pravděpodobnosti na několik oblastí a na každou z nich aplikujeme jinou metodu
23 | ||
---|---|---|
Celé jméno | OK | !!! |
vagy | ||
1 |
Diskuze
Toto je koukám taky solidní téma…