Starší verze Správa médií

Poslední úpravy Index

OBSAH WEBU

ČTĚTE!

Toto je starší verze dokumentu!

Obsah

23. Numerické metody a matematická pravděpodobnost
Diskuze

23. Numerické metody a matematická pravděpodobnost

Numerické rešení algebraických rovnic

Základní pojmy

Mějme soustavu rovnic:

$\matrix{4}{9}{{a_{11}x_1} {+} {a_{12}x_2} {+} {...} {+} {a_{1n}x_n} {=} {b_1} {a_{21}x_1} {+} {a_{22}x_2} {+} {...} {+} {a_{2n}x_n} {=} {b_2} {\vdots} {} {} {} {} {} {} {\vdots}{} {a_{m1}x_1} {+} {a_{m2}x_2} {+} {...} {+} {a_{mn}x_n} {=} {b_m}}$

s neznámými x_1, x_2, ..., x_n

platí Ax = B

metody výpočtu dělíme na přímé a iterační

Příme metody

Cramerovo pravidlo

$x_1 = {D_1}/D, x_2 = {D_2}/D, ..., x_n = {D_n}/D$

… diskriminant

D_i … diskriminant z matice, kde i-tý sloupec nahrazen sloupcem pravých stran

vhodné pro malé množství soustav
existuje právě jedno řešení

příklad

Pomocí Cramerova pravidla najdete rešení soustavy rovnic:

$\matrix{2}{1}{{2x_1 + 3x_2 = 5} {-x_1 + 2x_2 = 8}}$

Řešení:

$D = \delim{|}{\matrix{2}{2}{2 3 {-1} 2}}{|} = 4 + 3 = 7$

$D_1 = \delim{|}{\matrix{2}{2}{5 3 8 2}}{|} = 10 - 24 = -14$

$D_2 = \delim{|}{\matrix{2}{2}{2 5 {-1} 8}}{|} = 16 + 5 = 21$

$x_1 = {D_1}/D = -{14}/7$

$x_2 = {D_2}/D = {21}/7$

Gaussova eliminační metoda

upravujeme matici soustavy na schodovitý tvar a řešení najdeme zpětnout substitucí

Frobeninova věta - soustava rovnic má řešení, pokud hodnot matice soustavy je stejná jako hodnot rozšířené matice soustavy

částečný výběr hlavního prvku - modifikace Gaussovy metody, při úpravě na schodovytý tvar vybíráme jako první nenulový prvek ten, jehož absolutní hodnota je největší (zmenší se tím chyba)

úplný výběr hlavního prvku - podobné částečnému výběru, vybíráme největší hodnoty ve sloupec všech řádků

příklad

Pomocí Gaussovy eliminace vyrešte soustavu rovnic:

$\matrix{3}{1}{ {1.67x_1 − 0.15x_2 + 2.51x_3 = −0.84} {2.15x_1 + 3.02x_2 − 0.17x_3 = 2.32} {1.71x_1 − 2.83x_2 + 1.45x_3 = 1.26} }$

Řešení:

$(\matrix{3}{4}{ {1.67} {−0.15} {2.51} {−0.84} {2.15} {3.02} {−0.17} {2.32} {1.71} {−2.83} {1.45} {1.26} })$

$(\matrix{3}{4}{ {1.67} {−0.15} {2.51} {−0.84} {0} {3.21311} {−3.40144} {3.40144} {0} {−2.67641} {−1.12012} {2.12012} })$

$(\matrix{3}{4}{ {1.67} {−0.15} {2.51} {−0.84} {0} {3.21311} {−3.40144} {3.40144} {0} {0} {-3.95339} {4.95339} })$

$\matrix{3}{7}{ {1.67x1} {−} {0.15x2} {+} {2.51x3} {=} {−0.84} {} {} {3.21311x2} {−} {3.40144x3} {=} {3.40144} {} {} {} {} {−3.95339x3} {=} {4.95339} }$

$x_3 = {4.95339}/{−3.95339} \approx −1.25295$
$x_2 = 1/{3.21311} (3.40144 + 3.40144(−1.25295)) \approx −.26777$
$x_1 = 1/{1.67} (−0.84 + 0.15(−0.26777) − 2.51(−1.25295)) \approx 1.35613$

Iterační metody

Jacobiho metoda

soustavu rovnic převedeme na tvar:

$\matrix{4}{1}{{x_1 = 1/{a_{11}}(b_1 - a_{12}x_2 - a_{13}x_3 - ... - a_{1n}x_n)} {x_2 = 1/{a_{22}}(b_1 - a_{21}x_1 - a_{23}x_3 - ... - a_{2n}x_n)} {\vdots} {{x_n = 1/{a_{nn}}(b_n - a_{n1}x_1 - a_{n2}x_2 - ... - a_{n{n-1}}x_{n-1})}}}$

zvolíme libovolně počáteční řešení:

$x^{(0)} = (x{_1}^{(0)}, x{_2}^{(0)}, ..., x{_n}^{(0)})^T$

dosadíme do rovnic a dostaneme řešení

$x^{(1)} = (x{_1}^{(1)}, x{_2}^{(1)}, ..., x{_n}^{(1)})^T$

obecně:

$\matrix{4}{1}{ {x{_1}^{(r + 1)} = 1/{a_{11}}(b_1 - a_{12}x{_2}^{(r)} - a_{13}x{_3}^{(r)} - ... - a_{1n}x{_n}^{(r)})} {x{_2}^{(r + 1)} = 1/{a_{22}}(b_1 - a_{21}x{_1}^{(r)} - a_{23}x{_3}^{(r)} - ... - a_{2n}x{_n}^{(r)})} {\vdots} {x{_n}^{(r + 1)} = 1/{a_{nn}}(b_n - a_{n1}x{_1}^{(r)} - a_{n2}x{_2}^{(r)} - ... - a_{n{n-1}}x{_{n-1}}^{(r)})} }$

počítá se, dokud řešení nedosáhne např. dané přesnosti nebo není překročen maximální počet kroků

Definice

Matice A se nazývá

řádkově ostře diagonálně dominantní právě tehdy, když

$|a_{ii}| > \sum{j = 1, j \ne i}{n}{|a_{ij}|}$ , pro i = 1 .. n

sloupcově ostře diagonálně dominantní právě tehdy, když

$|a_{jj}| > \sum{i = 1, i \ne j}{n}{|a_{ij}|}$ , pro j = 1 .. n

Věta

Je-li matice A ostře řádkově nebo sloupcove diagonálně dominantní, Jacobiho metoda konverguje

Příklad

Jacobiho metodou rešte soustavu

$\matrix{3}{7}{ {15x_1} {−} {x_2} {+} {2x_3} {=} {30} {2x_1} {−} {10x_2} {+} {x_3} {=} {23} {x_1} {+} {3x_2} {+} {18x_3} {=} {−22} }$

Řešení:

Matice soustavy je diagonálne dominantní, protože platí

$\delim{|}{15}{|} > \delim{|}{−1}{|} + \delim{|}{2}{|}, \delim{|}{−10}{|} > \delim{|}{2}{|} + \delim{|}{1}{|}, \delim{|}{18}{|} > \delim{|}{1}{|} + \delim{|}{3}{|}$

$\matrix{3}{3}{ {{x_1}^{(r+1)}} {=} {1/{15} (30 + {x_2}^{(r)} − 2 {x_3}^{(r)})} {{x_2}^{(r+1)}} {=} {−{1}/{10} (23 − 2{x_1}^{(r)} − {x_3}^{(r)})} {{x_3}^{(r+1)}} {=} {1/{18} (−22 − {x_1}^{(r)} − 3{x_2}^{(r)})} }$

Počáteční aproximace: $\vec{x} = (0, 0, 0)^T$

	${x_1}^{(r)}$	${x_2}^{(r)}$	${x_3}^{(r)}$

Gauss-Seidelova metoda

Podobná Jacobiho metodě, liší se v tom, že při výpočtu další aproximace používá nejnovějších hodnot

$\matrix{4}{1}{ {x{_1}^{(r + 1)} = 1/{a_{11}}(b_1 - a_{12}x{_2}^{(r)} - a_{13}x{_3}^{(r)} - ... - a_{1n}x{_n}^{(r)})} {x{_2}^{(r + 1)} = 1/{a_{22}}(b_1 - a_{21}x{_1}^{(r + 1)} - a_{23}x{_3}^{(r)} - ... - a_{2n}x{_n}^{(r)})} {\vdots} {x{_n}^{(r + 1)} = 1/{a_{nn}}(b_n - a_{n1}x{_1}^{(r + 1)} - a_{n2}x{_2}^{(r + 1)} - ... - a_{n{n-1}}x{_{n-1}}^{(r + 1)})} }$

Definice

Matice se nazývá pozitivně definitní, jestliže pro každý nenulový sloupcový vektor x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T platí

x^T A x > 0

Věta

Je-li matice A pozitivně definitní, Gauss-Seidelova metoda konverguje

Příklad

Gauss-Seidelovou metodou rešte soustavu

$\matrix{3}{7}{ {15x_1} {−} {x_2} {+} {2x_3} {=} {30} {2x_1} {−} {10x_2} {+} {x_3} {=} {23} {x_1} {+} {3x_2} {+} {18x_3} {=} {−22} }$

Řešení:

Matice soustavy je diagonálne dominantní, protože platí

$\delim{|}{15}{|} > \delim{|}{−1}{|} + \delim{|}{2}{|}, \delim{|}{−10}{|} > \delim{|}{2}{|} + \delim{|}{1}{|}, \delim{|}{18}{|} > \delim{|}{1}{|} + \delim{|}{3}{|}$

$\matrix{3}{3}{ {{x_1}^{(r+1)}} {=} {1/{15} (30 + {x_2}^{(r)} − 2 {x_3}^{(r)})} {{x_2}^{(r+1)}} {=} {−{1}/{10} (23 − 2{x_1}^{(r+1)} − {x_3}^{(r)})} {{x_3}^{(r+1)}} {=} {1/{18} (−22 − {x_1}^{(r+1)} − 3{x_2}^{(r+1)})} }$

Počáteční aproximace: $\vec{x} = (0, 0, 0)^T$

	${x_1}^{(r)}$	${x_2}^{(r)}$	${x_3}^{(r)}$

Numerické metody rešení nelineárních rovnic

Řešením rozumíme každé

vyhovující rovnici f(x) = 0

Věta

Je-li funkce spojitá na intervalu <a, b> a platí

f(a).f(b) < 0 ,

pak v intervalu <a, b> leží alespoň jeden kořen rovnice f(x) = 0 .

Metoda půlení intervalů

Mějme fci

a interval <a, b>

, na kterém platí f(a).f(b) < 0

1. Zvolme střed intervalu $x_0 = {a + b}/2$ . Dostaneme intervaly ,
2. Vyberme ten interval, na kterém je opět splněna podmínka , označme jej
3. vraťmě se ke kroku 2

Skončíme, pokud platí: $b_k - a_k < 2\epsilon$

Řešením je potom $x_k = {b_k - a_k}/2$

Příklad

Metodou pulení intervalu najdete kladný koren rovnice

e^x + x^2 − 3 = 0

s přesností $\epsilon = 0.01$ .

Řešení:

Zvolme interval <0; 1>

b_6 − a_6 < 2 0.01

$x_6 \approx 0.84$

Metoda Regula Falsi

Myšlenka - sestrojíme úsečku s krajními body f(a), f(b)

, určíme průsečík s osou x. Vybereme interval, ve kterém leží kořen rovnice. Opět sestrojíme úsečku v krajních bodech. Opět určíme průsečík a interval, ve kterém je řešení.

Podobně jako metoda půlení intervalů.

Mějme fci a interval <a, b> , na kterém platí f(a).f(b) < 0 .

1. spočtěme přiblížné řešení podle vzorce: $x_k = b_k - {b_k - a_k}/{f(b_k) - f(a_k)} f(b_k)$
2. dostame dva intervaly , , vyberme ten, pro nějž je splněna podmínka
3. vraťmě se na krok 1.

Počítáme, dokud neplatí: $x_{k+1} - x_{k} < \epsilon$

Příklad

Metodou regula falsi najdete kladný koren rovnice

e^x + x^2 − 3 = 0

s přesností $\epsilon = 0.01$ .

Řešení:

Zvolme interval <0; 1>

$\delim{|}{x_2 − x_1}{|} < 0.01$

$x_2 \approx 0.83$

Newtonova metoda (metoda tečen)

Myšlenka - sestrojíme tečnu v krajním bodu intervalu (ten s větší fčí hodnotou) a určíme průsečík s osou x. V tomto bodě vypočteme fčí hodnotu a z něj sestrojíme tečnu. Celý proces se opakuje.

Mějme fci a interval <a, b> , na kterém platí f(a).f(b) < 0 .

průsečík s osou spočítáme podle vztahu: $x_{k + 1} = x_k - {f(x_k)}/{f\prime (x_k)}$

Počítáme, dokud neplatí: $x_{k+1} - x_{k} < \epsilon$

Věta (Fourierova podmínka)

Nechť v intervalu <a, b> leží jediný kořen rovnice f(x) = 0 a nechť $f\prime (x)$ a $f\prime\prime (x)$ jsou spojité a nemění znaménko na intervalu <a, b> . Zvolíme-li za počáteční aproximaci $x_0 \in <a, b>$ tak, aby byla splněna podmínka

$f(x_0)f\prime\prime (x_0) > 0$ ,

Newtonova metoda bude konvergovat.

Příklad

Newtonovou metodou najdete záporný koren rovnice

e^x + x^2 − 3 = 0

s přesností $\epsilon = 0.01$ .

Řešení:

Zvolme interval <-2; -1>

f(x) = e^x + x^2 − 3

$f\prime(x) = e^x + 2x$

$f\prime\prime(x) = e^x + 2$

Na celém intervalu <−2, −1> je $f\prime(x) < 0$ a $f\prime\prime(x) > 0$

Protože $f(−2) = e^{−2} + 1 > 0$ a $f(−1) = e^{−1} − 2 < 0$ , zvolíme x_0 = −2

$x_{k + 1} = x_k − {f(x_k)}/{f\prime(x_k)} = x_k − {e^{x_k} + {x_k}^2 − 3}/{e^{x_k} + 2x_k}$

$\matrix{4}{1}{ {x_0 = −2} {x_1 \approx −1.70623} {x_2 \approx −1.67752} {x_3 \approx −1.67723} }$

$\delim{|}{x_3 − x_2}{|} < 0.01$

$x_3 \approx −1.68$

metoda prosté iterace

vhodné pro rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru x = g(x)

Zvolíme počáteční bod aproximace x_0 , x_k potom spočteme podle vztahu $x_k = g(x_{k - 1})$

Počítáme, dokud neplatí: $x_{k+1} - x_{k} < \epsilon$

Věta

Nechť funkce g zobrazuje interval <a, b> do sebe a má na tomto intervalu derivaci. Jestliže existuje číslo $\alpha \in <0, 1)$ tak, že

$|g\prime (x)| < \alpha, \forall x \in <a, b>$ ,

potom iterační metoda konverguje

Příklad

Metodou prosté iterace najdete záporný koren rovnice

e^x + x^2 − 3 = 0

s přesností $\epsilon = 0.01$ .

Řešení:

Zvolme interval <-2; -1>

$x_2 = 3 − e^x \doubleright x = ±\sqrt{3 − e^x}$

$g(x) = −\sqrt{3 − e^x}$

Ověření podmínky konvergence:

$g\prime(x) = {e^x}/{2\sqrt{3 − e^x}}$

maximem $g\prime(x)$ je $g\prime(-1) \le 0.12 < 1$ ,

a protože

$g(−2) \approx −1.69 \in <−2,−1>$ a $g(−1) \approx −1.62 \in <−2,−1>$ ,

metoda konverguje.

Zvolme x_0 = −2

$x_{k + 1} = g(x_k) = −\sqrt{3 − e^{x_k}}$

$\matrix{4}{3}{ {x_0} {=} {−2} {x_1} {\approx} {−1.69253} {x_2} {\approx} {−1.67808} {x_3} {\approx} {−1.67728} }$

$\delim{|}{x_3 − x_2}{|} < 0.01$

$x_3 \approx −1.68$

Numerické metody rešení soustav nelineárních rovnic

Nechť máme:

$\matrix{4}{3}{{f_1(x_1, x_2, ..., x_n)} {=} {0} {f_2(x_1, x_2, ..., x_n)} {=} {0} {} {\vdots} {} {f_n(x_1, x_2, ..., x_n)} {=} {0}}$

$\vec{F(\vec{x})} = \vec{0}$

$\vec{F} = (f_1, ..., f_n)^T$ , $\vec{x} = (x_1, ..., x_n)^T$

Metoda prosté iterace

Soustavu rovnic upravíme na tvar:

$\matrix{4}{1}{ {x_1 = g_1(x_1, x_2, ..., x_n)} {x_2 = g_2(x_1, x_2, ..., x_n)} {\vdots} {x_n = g_n(x_1, x_2, ..., x_n)} }$

$\vec{x} = \vec{G(vec{x})}$

$\vec{G} = (g_1, ..., g_n)^T$

Analogie u jedné rovnice, zvolíme počáteční řešení $\vec{x^(0)}$ a počítáme:

$\vec{x^{(k + 1)}} = \vec{G(\vec{x^{(k)}})}$

Počítá se dokud neplatí: $|| \vec{x^{(k)}} − \vec{x^{(k−1)}}|| < \epsilon$

Najít vhodné iterační funkce muže být velmi obtížné. Proto se daleko častěji používá Newtonova metoda.

Dále označme

$\vec{G\prime} = (\matrix{4}{4}{ {{\partial g_1}/{\partial x_1}} {{\partial g_1}/{\partial x_2}} {...} {{\partial g_1}/{\partial x_n}} {{\partial g_2}/{\partial x_1}} {{\partial g_2}/{\partial x_2}} {...} {{\partial g_2}/{\partial x_n}} {} {} {\ddots} {} {{\partial g_n}/{\partial x_1}} {{\partial g_n}/{\partial x_2}} {...} {{\partial g_n}/{\partial x_n}} })$

Věta

Nechť zobrazuje uzavřenou oblast D do sebe a je v této oblasti diferencovatelná. Jestliže existuje číslo $\alpha \in <0, 1)$ tak, že

$||G\prime|| < \alpha, \forall x \in D$ ,

kde $||G\prime||$ je řádková nebo sloupcová norma matice $G\prime$ , pak metoda diverguje.

Příklad

Metodou prosté iterace najdete koren soustavy rovnic

$\matrix{2}{3}{ {3_x + x^2y − 3} {=} {0} {x^2 − 5y} {=} {0} }$ ,

který leží v oblasti D = <1/2, 1> * <0, 1/2> s přesností 0,01 .

Řešení:

Zvolme např.

$g_1(x, y) = 1 − {x^2y}/3$ $g_2(x, y) = {x^2}/5$

G = (g_1, g_2)^T zobrazuje D do sebe:

Jestliže $x \in <1/2, 1>$ a $y \in <0, 1/2>$ , pak ${x^2y}/3 \in <0, 1/6>$ a tedy $g_1(x, y) \in <5/6, 1> \subset <1/2, 1>$ .

Podobně $g_2(x, y) \in <1/{20}, 1/5> \subset <0, 1/2>$ .

Konvergence:

Oveříme, zda ${||G\prime||} < 1$ , neboli zda $\delim{|}{{\partial g_1}/{\partial x}}{|} + \delim{|}{{\partial g_1}/{\partial y}}{|} \le \alpha$ i $\delim{|}{{\partial g_2}/{\partial x}}{|} + \delim{|}{{\partial g_2}/{\partial y}}{|} \le \alpha$ .

$G\prime = (\matrix{2}{2}{ {-{2xy}/3} {−{x^2}/3} {{2x}/5} {0} })$

Jestliže $x \in <1/2, 1>$ a $y \in <0, 1/2>$ , pak $\delim{|}{−{2xy}/3}{|} + \delim{|}{−{x^2}/3}{|} \le 1/3 + 1/3 = 2/3 < 1$ a $\delim{|}{{2x}/5}{|} \le 2/5 < 1$ . (Tedy $\alpha = 2/3$ .) Podmínky konvergence jsou splneny.

Jako pocátecní aproximaci mužeme zvolit napr. (x_0, y_0) = (1, 0) .

$x_{k + 1} = g_1(x_k, y_k) = 1 − {{x_k}^2{y_k}}/3$
$y_{k + 1} = g_2(x_k, y_k) = {{x_k}^2}/5$


0	1	0
1	1	0.2
2	0.933	0.2
3	0.942	0.174
4	0.948	0.177

$\delim{|}{x_4 − x_3}{|} < 0.01$ i $\delim{|}{y_4 − y_3}{|} < 0.01 \doubleright (x, y) \approx (0.95, 0.18)$

Newtona metoda

$\vec{F} = (f_1, ..., f_n)^T$

Vychází se ze vztahu:

$\vec{x^{(k+1)}} = \vec{x^{(k)}} − (\vec{F\prime (\vec{x^{(k)}}))}^{-1} \vec{F(\vec{x^{(k)}})}$

Je potřeba spočítat inverzní matici, což je pracné, proto vztah upravíme:

$\vec{F\prime (\vec{x^{(k)}})}(\vec{x^{(k+1)}} - \vec{x^{(k)}}) = -\vec{F(\vec{x^{(k)}})}$

Označme ${\delta}^{(k)} = x^{(k+1)} − x^{(k)} = ({\delta_1}^{(k)}, ..., {\delta_n}^{(k)})^T$

Řešíme potom soustavu:

$\vec{F\prime (\vec{x^{(k)}})}{\delta}^{(k)} = -\vec{F(\vec{x^{(k)}})}$

s neznámými ${\delta_1}^{(k)}, ..., {\delta_n}^{(k)}$ .

Novou aproximaci potom dostaneme:

$x^{(k+1)} = x^{(k)} + {\delta}^{(k)}$

Počítáme, dokud není splněno:

$||x^{(k)} − x^{(k−1)}|| < \epsilon$ neboli $||{\delta}^{(k−1)}|| < \epsilon||$

Příklad

Newtonovou metodou najdete rešení soustavy rovnic

$\matrix{2}{3}{ {(x − 1)^2 + y^2 − 4} {=} {0} {x + (y + 1)^2 − 1} {=} {0} }$

s presností $\epsilon = 0.01$ .

Řešení:

Zvolme x^(0) = (0,−2) .

f_1(x, y) = (x − 1)^2 + y^2 − 4
f_2(x, y) = x + (y + 1)^2 − 1

$F\prime = (\matrix{2}{2}{ {{\partial f_1}/{\partial x}} {{\partial f_1}/{\partial y}} {{\partial f_2}/{\partial x}} {{\partial f_2}/{\partial y}} }) = (\matrix{2}{2}{ {2(x − 1)} {2y} {1} {2(y + 1)} })$

1. krok

$F\prime(0,−2) = (\matrix{2}{2}{ {−2} {−4} {1} {−2} })$

$F(0,−2) = (\matrix{2}{1}{1 0})$

$\matrix{2}{5}{ {−2\delta_1} {−} {4\delta_2} {=} {−1} {\delta_1} {−} {2\delta_2} {=} {0} }$

$\delta_1 = 1/4 = 0.25, \delta_2 = 1/8 = 0.125$

x^(1) = (0 + 0.25,−2 + 0.125) = (0.25, −1.875) .

2. krok

$\delta_1 = 0.01225$ , $\delta_2 = 0.01593$

x^(2) = (0.26225, −1.85907) .

3. krok

$\delta_1 = −0.00004$ , $\delta_2 = 0.00012$

x^(3) = (0.26221, −1.85894) .

$|\delta_1| < 0.01$ a $|\delta_2| < 0.01$ , můžeme skončit.

Numerické rešení obyčejných diferenciálních rovnic

Numerické derivování a integrování

derivování

Má-li funkce

druhou derivaci na intervalu <x_0, x_1>

, pak existují body $\xi_0, \xi_1 \in <x_0, x_1>$ tak, že platí

$f\prime(x_0) = {f(x_1) - f(x_0)}/h - h/2 f\prime\prime (\xi_0)$

$f\prime(x_1) = {f(x_1) - f(x_0)}/h - h/2 f\prime\prime (\xi_0)$

Numerické derivování - vzorce

integrování

Integrály funkce jedné proměnné

Numerické rešení diferenciálních rovnic

Pojmy, předpoklady

Máme interval <a, b>

, který rozdělíme na

dílků: $a = x_0 < x_1 < ... < x_{n - 1} = b$ , x_i

nazýváme uzlové body

$h_i = x_{i + 1} - x_i$ … krok

Podle počtu kroků dělíme metody na:

jednokrokové
vícekrokové

Počáteční úloha

$y\prime(x) = f(x, y), y(x_0) = y_0$

Hledáme fci y(x)

Eulerova metoda

Rovnici $y\prime(x) = f(x, y), y(x_0) = y_0$ upravíme:

${y(x_{i + 1}) - y(x_i)}/h \approx f(x, y), y(x_0) = y_0$ .

Další úpravou získáme:

$y_{i + 1} = y_i + hf(x_i, y_i)$

Modifikace eulerovy metody

První modifikace:

k_1 = f(x_n, y_n)

k_2 = f(x_n + 1/2 h, y_n + 1/2 h k_1)

$y_{n + 1} = y_n + h k_2$

Druhá modifikace:

k_1 = f(x_n, y_n)
k_2 = f(x_n + h , y_n + h k_1)
$y_{n + 1} = y_n + 1/2 h(k_1 + k_2)$

Runge-Kuttovy metody

Obecný tvar:

$y_{n + 1} = y_n + h(w_1 k_1 + ... + w_s k_s)$ ,

kde

k_1 = f(x_n, y_n)

$k_i = f(x_n + \alpha_i h, y_n + h \sum{j = 1}{i - 1}{\beta_{ij}k_j}), i = 2, ..., s$

Nejznámější Runge-Kuttova metoda 4. řádu:

$y_{n + 1} = y_n + 1/6 h(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$
k_1 = f(x_n, y_n)
k_2 = f(x_n + 1/2 h, y_n + 1/2 hk_1)
k_3 = f(x_n + 1/2 h, y_n + 1/2 hk_2)
k_4 = f(x_n + h, y_n + hk_3)

Rešení soustav diferenciálních rovnic

$\matrix{4}{2}{ {y_1\prime = f_1(x, y_1, y_2, ..., y_n)} {y_1(x_0) = \eta_1} {y_2\prime = f_2(x, y_1, y_2, ..., y_n)} {y_2(x_0) = \eta_2} {\vdots} {\vdots} {y_n\prime = f_1(x, y_1, y_2, ..., y_n)} {y_n(x_0) = \eta_n} }$

$\vec{y\prime} = \vec{f(\vec{x}, \vec{y})}, \vec{y(\vec{x_0})} = \vec{\eta}$

$\vec{y} = (y_1, ..., y_n)^T, \vec{f} = (f_1, ..., f_n)^T, \vec{\eta} = (\eta_1, ..., \eta_n)^T$

Eulerova metoda

$\vec{y_{n+1}} = \vec{y_n} + h\vec{f(x_n, \vec{y_n})}$

Runge-Kutte 4. řádu

$\vec{y_{n + 1}} = \vec{y_n} + 1/6 h(\vec{k_1} + 2\vec{k_2} + 2\vec{k_3} + \vec{k_4})$
$\vec{k_1} = \vec{f(x_n, \vec{y_n})}$
$\vec{k_2} = \vec{f(x_n + 1/2 h, \vec{y_n} + 1/2 h\vec{k_1})}$
$\vec{k_3} = \vec{f(x_n + 1/2 h, \vec{y_n} + 1/2 h\vec{k_2})}$
$\vec{k_4} = \vec{f(x_n + h, \vec{y_n} + h\vec{k_3})}$

Rešení diferenciálních rovnic vyššího rádu

ODE

$y^{(n)} = f(x, y, y\prime, . . . , y^{(n−1)}), y(x_0) = y_0, y\prime(x_0) = {y\prime}_0, ..., y^{(n−1)}(x_0) = {y_0}^{(n−1)}$

mužeme převést na soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu:

Označme:

$\matrix{4}{2}{ {{y\prime}_1 = y_2} {y_1(x_0) = y_0} {{y\prime}_2 = y_3} {y_2(x_0) = {y\prime}_0} {\vdots} {\vdots} {{y\prime}_n = f(x, y_1, y_2, ..., y_n)} {y_n(x_0) = {y^{(n - 1)}}_0} }$

Rozložení pravděpodobnosti

Prerekvizity

Pravděpodobnost
Diskrétní náhodná veličina
Spojitá náhodná veličina
Střední hodnota
Rozptyl

Diskrétní rozložení pravděpodobnosti

Binomické rozložení

Pravděpodobnost úspěchu je

, pravděpodobnost neúspěchu 1 − p

. Náhodná veličina

, která udává počet výskytů úspěchu při

nezávislých opakování experimentů, má tzv. binomické rozdělení pravděpodobnosti.

$P(X = r) = (\matrix{2}{1}{{N} {r}}) p^r (1 - p)^{N - r}$

Zapsano: $X \approx Bi(N, p)$ .

E(X) = Np

D(X) = Np(1 - p)

Poissonovo rozdelení

Rozložení nazýváme poissonovské, pokid platí:

Pravděpodobnost výskytu události v intervalu závisí pouze na , nikoli na počtu událostí, které nastaly před okamžikem , ani na samotném
Pravděpodobnost, že v časovém intervalu délky k výskytu žádné události nedojde, je kladná, ale menší než 1.
Pro malá nastane v intervalu délky nejvýše jedna událost